几何布朗运动；股价模拟

Question

我用 C++ 编写了一个 GBM 函数，我相信当我以 100 的初始价格开始时，我得到的股票价格范围太多，输出可能来自 [50,400]。我不确定我的代码做错了什么，我猜我播种随机标准正态数的方式有问题。请看一下函数，如果有什么需要修改或更改的，请告诉我。

函数如下：

std::vector<double> GBM(const int M, const int N, const double T, const double r, const double q, const double sigma, const double S0){
    double dt =  T/N;
    std::vector<double> Z;
    std::vector<double> S;
    S.push_back(S0);
    std::mt19937 e2(time(0));
    std::normal_distribution<double> dist(0.0, 1.0);
    for(int i = 0; i < M; i++){
        Z.push_back(dist(e2));
    }
    double drift  = exp(dt*((r - q)-0.5*sigma*sigma));
    double vol = sqrt(sigma*sigma*dt);
    for(int i = 1; i < M; i++){
        S.push_back(S[i-1] * drift * exp(vol*Z[i]));
    }
    return S;
}

这里是 main.cpp 使用上述功能的文件：

#include <iostream>
#include "LSM.h"
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/SVD>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>

std::vector<double> GBM(const int M, const int N, const double T, const double r, const double q, const double sigma, const double S0);

int main(){
    const double r = 0.04;          // Riskless interest rate
    const double q = 0.0;           // Divident yield
    const double sigma = 0.20;      // Volatility of stock
    const double T = 1;             // Time (expiry)
    const int N = 1000;             // Number of time steps
    const double K = 100.0;         // Strike price
    const double S0 = 100.0;        // Initial stock price
    const int M = 10000;                // Number of paths
    const int R = 2;                // Choice of basis for Laguerre polynomial

    //LSM Option_value(r,q,sigma,T,N,K,S0,M,R);

    std::vector<double> s = GBM(M,N,T,r,q,sigma,S0);
    for(int i = 0; i < M; i++){
        std::cout << s[i] << std::endl;
    }



    return 0;
}

初始股价为 100 的典型输出如下：

Answer 1

根据常量后面的注释，您想使用 1000 个细分步长（即步长为 0.001）模拟从 0 到 1 的 10000 条积分路径。

你正在做的是整合一条超过 10000 步的路径，步长为 0.001，即从 0 到 10。

如果操作正确，结果应该类似于

S0 * exp( ((r-q)-0.5*sigma*sigma)*T + sigma*sqrt(T)*Z[i] )

因为 GBM 在时间 T 的值仅取决于 W(T) 分布为 N(0,T) 或 sqrt(T)*N(0,1).

Answer 2

函数GBM每次应该模拟1条路径。因此无需提供 M。路径长度在您的代码中由 N 而不是 M 定义。

如果实施此更改，GBM return 整个模拟路径。然后你需要调用GBM M次才能计算出所有的模拟。

也不需要存储所有生成的随机数。

根据你的样本，是这样的：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>

// Random generator initialize (only once).
static std::mt19937 rng(time(0)); 

std::vector<double> GBM(const int N, const double T, const double r,
        const double q, const double sigma, const double S0)
{
    double dt =  T/N;
    std::vector<double> S;
    S.push_back(S0);
    std::normal_distribution<double> dist(0.0, 1.0);
    double drift  = exp(dt*((r - q)-0.5*sigma*sigma));
    double vol = sqrt(sigma*sigma*dt);
    for(int i = 1; i < N; i++){
        double Z = dist(rng);
        S.push_back(S[i-1] * drift * exp(vol*Z));
    }
    return S;
}

int main(){
    const double r = 0.04;          // Riskless interest rate
    const double q = 0.0;           // Divident yield
    const double sigma = 0.20;      // Volatility of stock
    const double T = 1;             // Time (expiry)
    const int N = 1000;             // Number of time steps
    const double S0 = 100.0;        // Initial stock price
    const int M = 100;              // Number of paths

    for (int sindx = 0; sindx < M; sindx++)
    {
        std::vector<double> s = GBM(N,T,r,q,sigma,S0);

        std::cout << "Simulation " << sindx << ": "
            << s[0] << ", " << s[1] << " ... " << s[N-2] << ", " << s[N-1]
            << std::endl;
    }

    return 0;
}

几何布朗运动；股价模拟

Geometric Brownian Motion; Simulation of Stock Price

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