julia 中对称矩阵的对角化产生奇怪的结果
Diagonalization of symmetric matrices in julia yields strange results
我想了解我的程序在 julia 中发生了什么。问题如下：我有一个对称的非负矩阵，我使用
对角化
egvals, egvecs = eig(H_mat)
根据定理，我的矩阵应具有与非负特征向量相关联的最大特征值。 H_mat 还有一个技巧，它的第一列和第一行都有一个用零填充的条目。
对角化产生最大正特征值 E_max，实际上它是最后一个特征值，因为 julia 将特征值按顺序排列到最大，但我与 E_max 关联的特征向量没有全部它的条目为零或正数（即它们有负数条目）
egvecs[:,end] # Some or several components ii, egvecs[ii,end]<0
这是我没有得到正确结果的矩阵，例如：
[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 2.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 3.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 2.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 3.0 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.0 0.0 3.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 3.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.0 0.0 1.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 2.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 2.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 3.0 1.414213562373095 0.0 1.414213562373095 1.414213562373095 0.0
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0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 1.7320508075688774 3.0]
(应该是20X20的矩阵)
特征向量仅按比例确定，因为要求它们求解 (A - lambda*I)v = 0，如果 v1 求解方程，那么 v2 = -v1 也求解。在对称情况下，标准的做法是将所有向量归一化为一个，但仍未确定符号。因此，您使用的定理必须说明类似可以选择 对应于最大值 的向量，使其具有非负元素。事实上，我知道对应于矩阵最大特征值的特征向量具有非正元素。
julia> eig(A) |> t -> all(t[2][:,indmax(t[1])] .<= 0)
true
我想了解我的程序在 julia 中发生了什么。问题如下：我有一个对称的非负矩阵，我使用
对角化egvals, egvecs = eig(H_mat)
根据定理，我的矩阵应具有与非负特征向量相关联的最大特征值。 H_mat 还有一个技巧，它的第一列和第一行都有一个用零填充的条目。
对角化产生最大正特征值 E_max，实际上它是最后一个特征值，因为 julia 将特征值按顺序排列到最大，但我与 E_max 关联的特征向量没有全部它的条目为零或正数（即它们有负数条目）
egvecs[:,end] # Some or several components ii, egvecs[ii,end]<0
这是我没有得到正确结果的矩阵，例如：
[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 2.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 3.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
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0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 3.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7320508075688774 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
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0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.0 0.0 1.414213562373095 0.0 0.0 3.0 1.0 1.7320508075688774
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(应该是20X20的矩阵)
特征向量仅按比例确定，因为要求它们求解 (A - lambda*I)v = 0，如果 v1 求解方程，那么 v2 = -v1 也求解。在对称情况下，标准的做法是将所有向量归一化为一个，但仍未确定符号。因此，您使用的定理必须说明类似可以选择 对应于最大值 的向量，使其具有非负元素。事实上，我知道对应于矩阵最大特征值的特征向量具有非正元素。
julia> eig(A) |> t -> all(t[2][:,indmax(t[1])] .<= 0)
true