很难理解递归关系解决方案

Question

所以问题是A0 = 4, A(n)=A(n-1) - n 到目前为止，我得到的是 A(1)=3、A(2)=1、A(3)=-2、A(4)=-6。我知道如何获得这些数字，如果我愿意，我可以无限上升。但是我很难理解找到解决方案的逻辑。

谢谢大家！

Answer 1

这里是算术数列的负数版本。我在查看关系时使用的是尝试理解输出 A(1)=3, A(2)=1, A(3)=-2, A(4)=-6 .... 所以我查看 A(1)=3 和 A(2)=1 以及 A(3) =-2... 我问自己在进入下一步的每一步中发生了什么。对于 A(2) n=2，我必须取 A(1)=3 并减去 n = 2 的值。如您所知，该模式可以满足您的需求。所以现在我们有了这个模式来获取序列 A(n) 的第 n 个元素的值与前一个值 A(n-1) 的关系，为了解决递归关系，我们必须从大局着眼并有一个对结构的一些直觉。编辑：

 - given n=0 A(0)= 4
 - n=1 A(1)=A(0)-1 = 4-1
 - n=2 A(2)=(4-1)-2 = 4 -(1-2) 
 - n=3 A(3)=((4-1)-2)-3 = 4 -(1-2-3)
 - n=4 A(4)=(((4-1)-2)-3)-4 = 4-(1-2-3-4)

所以我们可以看到 4 是一个常数，我们总是从中减去 -1 到 -n 的 Σ。这是一点点记忆发挥作用的地方。我们知道算术序列看起来像 Σ of 1 through n = to (n(n+1))/2 所以我们可以猜测，如果我们在这里输入一个负号，我们将得到负数版本。让我们试试 4-((n(n+1)/2)。这就是答案。我希望算术序列更直观，但你需要记住它和几何序列，因为它们经常出现.

如果您有更多问题，请告诉我。

Answer 2

A(n) = A(n - 1) - n
A(0) = 4

n    A(n)
0    4
1    A(0) - 1 = 4 - 1
2    A(1) - 2 = 4 - 1 - 2
3    A(2) - 3 = 4 - 1 - 2 - 3
...
k    A(k-1) - 3 = 4 - 1 - 2 - ... - k
                = 4 - (1 + 2 + ... + k)
                = 4 - [(1+k) + (2+k-1) + ... + (k/2 + k/2+1)], if k is even
                  4 - [(1+k) + (2+k-1) + ... + (k/2 + 0.5)], if k is odd
                = 4 - [(k+1) + (k+1) + ... + (k+1)], if k is even
                  4 - [(k+1) + (k+1) + ... + (k+1)/2], if k is odd
                = 4 - (k/2)(k+1), if k is even
                  4 - (k/2-1)(k+1) + (k+1)/2, if k is odd
                = 4 - (k/2)(k+1), if k is even
                  4 - (k/2)(k+1), if k is odd
                = 4 - (k/2)(k+1), for all k

很难理解递归关系解决方案

Having a hard time understanding recurrence relation solutions

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