以相对于弧长的恒定速度评估函数

Question

我正在实现一个实时图形引擎 (C++ / OpenGL)，它可以随着时间的推移沿着由多项式函数描述的指定路线移动车辆。该函数本身是在应用程序外部以编程方式生成的，并且是高阶的（我相信 >25），所以我不能在这里 post 它（无论如何我认为这不重要）。在运行时函数不会改变，因此很容易计算一次和二阶导数，以便以后快速使用它们。

我的问题是我必须以恒定速度（比如每秒 10 个单位）沿着曲线移动，所以我的函数参数不直接等于时间，因为两点 x1 和 x2 之间的弧长因函数值而异。例如，f(a+1) - f(a) 的差值可能远大于或小于 f(b+1) - f(b)，具体取决于函数如何查看点 a 和 b。

我不需要 100% 准确的解决方案，因为运动只是视觉上的，不会进一步处理，所以任何近似值都可以。另外请记住，整个事情必须在运行时每帧 (60fps) 计算，因此根据计算时间，用复杂的数学求解大型方程可能是不可能的。

我有点不知道从哪里开始，所以即使是任何思路都会受到高度赞赏！

Answer 1

给定恒定速度和帧间时间，可以计算帧间所需的弧长。所以下面的函数应该可以完成这项工作：

#include <cmath>
typedef double (*Function)(double);

double moveOnArc(Function f, const double xStart, const double desiredArcLength, const double dx = 1e-2)
{
  double arcLength = 0.;
  double fPrev = f(xStart);
  double x = xStart;
  double dx2 = dx*dx;
  while (arcLength < desiredArcLength)
  {
    x += dx;
    double fx = f(x);
    double dfx = fx - fPrev;
    arcLength += sqrt(dx2 + dfx*dfx);
    fPrev = fx;
  }
  return x;
}

既然您说准确性不是首要标准，那么选择一个合适的 dx 上述功能可能会立即起作用。当然，它可以通过自动调整 dx（例如基于二阶导数）或通过二分搜索优化端点来改进。

Answer 2

由于标准不是要有一个精确的解决方案，而是要有一个视觉上吸引人的近似值，因此有多种可能的解决方案可供尝试。

我实现的 first 方法（由 Alnitak 在评论中建议，后来由 coproc 回答），它通过微小的迭代来近似实际的弧长积分。这个版本在大多数时候都工作得很好，但在非常陡峭的角度上并不可靠，并且在平坦角度上使用了太多的迭代。正如 coproc 在答案中已经指出的那样，一个可能的解决方案是将 dx 基于二阶导数。

可以进行所有这些调整，但是，我需要一个运行时友好的算法。有了这个很难预测迭代次数，这就是我不满意的原因。

second 方法（也受到 Alnitak 的启发）利用 "pushing" 车辆沿计算斜率的一阶导数（等于当前 x 值）。计算下一个 x 值的函数非常紧凑和快速。视觉上没有明显的不准确，结果始终一致。（这就是我选择它的原因）

float current_x = ...; //stores current x
float f(x) {...}
float f_derv(x) {...}

void calc_next_x(float units_per_second, float time_delta) {
  float arc_length = units_per_second * time_delta;
  float derv_squared = f_derv(current_x) * f_derv(current_x);
  current_x += arc_length / sqrt(derv_squared + 1);
}

然而，这种方法可能只对高帧时间的情况足够准确（我的是 >60fps），因为物体将始终沿着直线推动，其长度取决于所述帧时间。

以相对于弧长的恒定速度评估函数

Evaluate function at constant speed relative to arc length

math

function

polynomial-math