解决流行算法路径遍历类型的方法

Question

给定一个矩阵，我们必须从每一行中 select 一个值，以便总值成本 selected 最小。
现在的问题是，如果我们在第 select 行 "J" 中 select 编辑了第 "J" 行，我们就无法 select 列“0”到 "I" 行中的 "J"前几行。
也就是说，我们只向右移动，向下移动时不能向左移动。

我能想到的是，如果我们从最后一行开始，然后向上移动，那么我们必须寻找所有可能的时间复杂度 O(2^n) 的组合，但是还有另一个解决此类问题的有效方法？

Answer 1

这是 shortest path problem 的变体，您的图表是：

G = (V,E)
V = { (x,y) | for each cell in the matrix } U { (-1,-1) } //assuming 0 based matrix
E = { ((x1,y),(x2,y+1)) | x1 < x2 } // or x1<=x2 - depends if you can go straight down
w((x1,y1),(x2,y2)) = value(x2,y2) //weight function

现在，这是一个图表（实际上是偶数 Directed Acyclic Graph - DAG) and you can apply a shortest path algorithm on it from a single source (-1,-1) to multiple targets of the format (x,n-1) - where n is the total number of rows. One algorithm to solve it is Dijkstra's Algorithm。

理解这是一个DAG后，我们甚至可以用直接的DP解决方案进一步优化它（实际上模仿了最短路径算法，但利用了DAG特性）：

D(-1,-1) = 0
D(x,y) = min { D(x', y-1) | for each x'>x }  U {infinity} + value(x,y)

最终答案将是min{ D(x,n-1) | for all values of x}。

此解决方案在 O(n*m*m) 中运行，其中 n 是行数，m 是列数。

解决流行算法路径遍历类型的方法

Approach used in solving Popular Algorithmic Path Traversal Type

algorithm

matrix

dynamic-programming