关于 numpy.einsum() 的附加信息

Additional information on numpy.einsum()

我正在尝试理解 numpy.einsum() 函数,但是来自 Whosebug 的文档以及 this answer 仍然给我留下了一些问题。

让我们取答案中定义的爱因斯坦和和矩阵。

A = np.array([0, 1, 2])

B = np.array([[ 0,  1,  2,  3],
                  [ 4,  5,  6,  7],
                  [ 8,  9, 10, 11]])

np.einsum('i,ij->i', A, B)

所以,根据我对爱因斯坦求和的理解,我会将这个函数翻译成等价于符号 (A_i*B_ij) 所以我会得到:

j = 1 : A_1*B_11 + A_2*B_21 + A_3*B_31

j = 2 : A_1*B_12 + A_2*B_22+ A_3*B_32

依此类推,直到 j = 4。这给出了

j = 1 : 0 + 4 + 16

j = 2 : 0 + 5 + 18

这就是我理解的爱因斯坦求和。相反,该函数不执行总和,而是将单独的项存储在矩阵中,我们可以在矩阵中找到 (A_i * B_ij)

的结果
0   0   0   0
4   5   6   7
16  18  20  22

这个函数实际上是如何控制的?我觉得这是由文档中提到的输出标签控制的:

The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired

所以我以某种方式假设放置 ->i 会禁用内部总和的求和。但这究竟是如何工作的呢?这对我来说不清楚。放置 ->j 可提供预期的实际爱因斯坦总和。

看来你对爱因斯坦求和的理解不正确。你写的下标运算乘法正确,但求和在错误的轴上。

想想这是什么意思:np.einsum('i,ij->i', A, B).

  1. A 的形状为 (i,)B 的形状为 (i, j)
  2. B 的每一列乘以 A
  3. B 的第二个轴上求和,即在标记为 j 的轴上求和。

这给出了形状 (i,) == (3,) 的输出,而你的下标符号给出了形状 (j,) == (4,) 的输出。你在错误的轴上求和。

更多详情:

记住乘法总是先发生。左边的下标告诉 np.einsum 函数,输入数组的 rows/columns/etc 将与另一个相乘。此步骤的输出始终与最高维输入数组具有相同的形状。也就是说,此时,假设的 "intermediate" 数组的形状为 (3, 4) == B.shape.

乘法之后还有求和。这是由从右侧 省略 的下标控制的。在这种情况下,省略了 j ,这意味着沿数组的第一个轴求和。 (您正在对第零求和。)

如果您改写:np.einsum('i,ij->ij', A, B),将会有 no 求和,因为没有省略下标。因此,您将获得问题末尾的数组。

这里有几个例子:

示例 1:

没有省略下标,所以没有求和。只需将 B 的列乘以 A。这是您写出的最后一个数组。

>>> (np.einsum('i,ij->ij', A, B) == (A[:, None] * B)).all()
True

示例 2:

与示例相同。乘以列,然后对输出的列求和。

>>> (np.einsum('i,ij->i', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=-1)).all()
True

示例 3:

你上面写的总和。乘以列,然后对输出的 .

求和
>>> (np.einsum('i,ij->j', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=0)).all()
True

示例 4:

请注意,我们可以在末尾省略 所有 轴,以获取整个数组的总和。

>>> np.einsum('i,ij->', A, B)
98

示例 5:

请注意,求和确实发生了,因为我们重复了输入标签 'i'。如果我们为输入数组的每个轴使用不同的标签,我们可以计算类似于 Kronecker 产品的东西:

>>> np.einsum('i,jk', A, B).shape
(3, 3, 4)

编辑

爱因斯坦求和的 NumPy 实现与传统定义略有不同。从技术上讲,爱因斯坦求和没有 "output labels" 的概念。这些总是由重复的输入标签暗示。

来自文档:"Whenever a label is repeated, it is summed." 所以,传统上,我们会写类似 np.einsum('i,ij', A, B) 的东西。这相当于 np.einsum('i,ij->j', A, B)i 重复,所以求和,只留下标记为 j 的轴。您可以将我们指定 no 输出标签的总和视为与仅指定输入中不重复的标签相同。即标签 'i,ij''i,ij->j'.

相同

输出标签是在 NumPy 中实现的扩展或扩充,它允许调用者强制求和或在轴上强制执行 no 求和。来自文档:"The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired."