Haskell Hermite 多项式实现

Question

Haskell 允许以非常简洁的方式表示循环函数。例如，包含斐波那契数列的无限列表可以定义如下：

fibs :: [Integer]
fibs = 1 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

我正在处理 'probabilists' Hermite 多项式，它具有以下递归关系：

对于给定的 x，构造第 n 个 Hermite 多项式的无限列表的最佳方法是什么？

Answer 1

我们可以写成：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : x : zipWith3 (\hn2 hn1 n1 -> x*hn1 - n1*hn2) s ts [1..]

其中第一项1 : x : ...是hermite的第一个元素（可以填写其他值）。

对于下一个，我们压缩原始值 s（以 H0 开头），s 的尾部 ts（以 H1) 和索引（以 2、3、... 开头）并执行操作 x*hn1 - x*hn2（nh1 代表 H_n-1，而nh2代表H_n-2), 所以我们每次都计算下一个元素。

x = 0.75 的前 11 个值是：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,0.75,-0.4375,-1.828125,-5.859375e-2,7.2685546875,5.744384765625,-39.30303955078125,-69.68797302246094,262.1583366394043,823.8105096817017]

所以第一个值为1，第二个为x，第三个为x*x-2，第四个为x*x*x-2*x-3*x，依此类推。

也就是说，如果我没记错的话，Hermite多项式的递归公式是：

H_n(x) = 2×x×H_n-1(x)-2× (n-1)H_n-2(x)

而不是问题中引用的那个。

在这种情况下，公式为：

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : 2 * x : zipWith3 helper s ts [1..]
          helper hn2 hn1 n1 = 2 * (x * hn1 - n1 * hn2)

则前11个值为：

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,1.5,0.25,-5.625,-9.9375,30.09375,144.515625,-144.3515625,-2239.74609375,-1049.994140625,38740.4384765625]

根据这个Wolfram article:

哪个是正确的

H₀ = 1

H₁ = 2*x

H₂ = 4˙x² - 2

H₃ = 8˙x³ - 4˙x

H₄ = 16˙x⁴ - 48˙x² + 12

这与我们获得的值完全一致：

Prelude> let x = 0.75 in [1,2*x,4*x*x-2,8*x*x*x-4*x,16*x*x*x*x-48*x*x+12]
[1.0,1.5,0.25,0.375,-9.9375]

Haskell Hermite 多项式实现

Haskell Hermite polynomials implementation

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