C++ `digits10` 对于 IEEE 浮点数是 6，但第一个不可表示的整数已经有 8 位数字？

Question

C++ 的 std::numeric_limits<float>::digits10，在 cppref 上是这样描述的：

The value of std::numeric_limits<T>::digits10 is the number of base-10 digits that can be represented by the type T without change, that is, any number with this many decimal digits can be converted to a value of type T and back to decimal form, without change due to rounding or overflow.

C 堂兄也有类似的描述 FLT_DIG。

给出的值为：

float     FLT_DIG /* 6 for IEEE float */

然而，所有直到16,777,216（2²⁴）的整数正好是shown here on S.O.以 32 位 IEEE 浮点类型表示。如果我会数，那个数字有 8 位，所以 digits10 的值实际上应该是 7，现在不应该是吗？

很明显，我在这里误解了一些关于 digits10 的东西，那么这个 实际上 告诉我什么？

实际适用性：

有人问我是否可以将 0.00 - 86,400.00 中的所有数字精确地存储在 IEEE 32 位浮点数中。

现在，我非常有信心我们可以将 0 - 8,640,000 中的所有数字存储在 IEEE 32 位浮点数中，但这是否适用于相同的 "integer" 范围向左移动 2 位数？

Answer 1

（将此答案限制为 IEEE754 float）。

8.589973e9 和 8.589974e9 都映射到 8589973504。这是第 7 位有效数字被保留的断言的反例。

由于第6位有效数字不存在这样的反例，所以std::numeric_limits<float>::digits10和FLT_DIG都是6。

事实上，整数可以精确地表示为 2 的 24^th 次方。（16,777,216 和 16,777,217 都映射到 16,777,216 ).那是因为 float 有一个 24 位的 significand.

Answer 2

正如其他答案和评论所确定的那样，digits10 涵盖所有 "exponent ranges"，即它必须适用于 1234567 以及 1.234567 和 12345670000 -- 这只适用于 6 个数字！

7 位数字的计数器示例：

8.589,973 e9 与 8.589,974 e9（来自 cppref 示例）

Answer 3

有时查找反例很容易。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main(void) {
  int p6 = 1e6;
  int p7 = 1e7;
  for (int expo = 0; expo < 29; expo++) {
    for (int frac = p6; frac < p7; frac++) {
      char s[30];
      sprintf(s, "%d.%06de%+03d", frac / p6, frac % p6, expo);
      float f = atof(s);
      char t[30];
      sprintf(t, "%.6e", f);
      if (strcmp(s, t)) {
        printf("<%s> %.10e <%s>\n", s, f, t);
        break;
      }
    }
  }
  puts("Done");
}

输出

<8.589973e+09> 8.5899735040e+09 <8.589974e+09>
<8.796103e+12> 8.7961035080e+12 <8.796104e+12>
<9.007203e+15> 9.0072024760e+15 <9.007202e+15>
<9.223377e+18> 9.2233775344e+18 <9.223378e+18>
<9.444738e+21> 9.4447374693e+21 <9.444737e+21>
<9.671414e+24> 9.6714134744e+24 <9.671413e+24>
<9.903522e+27> 9.9035214949e+27 <9.903521e+27>
<1.000000e+28> 9.9999994421e+27 <9.999999e+27>  This is an interesting one

Answer 4

另一种观点：

考虑在每对 2 的幂之间，像 IEEE binary 这样的 float 编码线性分布的 2²³ 个值。

示例：介于 2⁰ 和 2¹ 或 1.0 和 2.0 之间，

float 值之间的差异为 1.0/2²³ 或 10.192e-06。

以文本形式写成“1.dddddd”，一个7位数字，数字相差1.000e-06。

所以对于十进制文本数字的每一步，大约有10.2 float。
编码这 7 位数字没有问题。
在此范围内，编码 8 位数字也没有问题。

示例：介于 2²³ 和 2²⁴ 或 8,388,608.0 和 16,777,216.0 之间。

float 值之间的差异为 2²³/2²³ 或 1.0。

接近低端的数以文本形式写成“8or9.dddddd*10⁶”，7位有效数，相差1.0

编码这 7 位数字没有问题。

示例：介于 2³³ 和 2³⁴ 或 8,589,934,592.0 和 17,179,869,184.0 之间，

float 值之间的差异为 2³³/2²³ 或 1,024.0。

接近低端的数字写成文本形式“8or9.dddddd*10⁹”，7位有效数字，相差1,000.0.

现在我们有问题了。从8,589,934,592.0开始，接下来的1024个文本形式的数字只有1000种不同的float编码。

d.dddddd * 10^expo 形式的 7 位数字组合太多，无法使用 float.

进行唯一编码

C++ `digits10` 对于 IEEE 浮点数是 6，但第一个不可表示的整数已经有 8 位数字？

C++ `digits10` is 6 for IEEE float, but the first non-representable integer already has 8 digits?

c

c++

floating-point

significant-digits