使用多精度提高间隔

Question

我尝试将boost区间运算库与boost多精度库一起使用。如果我对本机双精度数据类型使用标准双精度，则一切正常。

然而，对于多精度库，它产生的结果实际上更不准确。这里有一些代码：

#include <boost\numeric\interval.hpp>
#include <boost\multiprecision\cpp_dec_float.hpp>
#include <iostream>

using namespace boost::numeric;
using namespace boost::numeric::interval_lib;
using namespace boost::multiprecision;

template <typename T>
using Interval = interval<T, policies<save_state<rounded_transc_exact<T>>, checking_base<T>>>;
using BigFloat = cpp_dec_float_100;

int main()
{
    std::cout << sin(Interval<double>(0.0, 0.1)).upper() << "\n"; // 0.0998334
    std::cout << sin(Interval<BigFloat>(0.0, 0.1)).upper() << "\n"; // 1
}

可以看出，double 版本产生了非常准确的结果。 BigFloat 版本应该更准确，但是它产生了一个非常大的界限——实际上是 sin 函数的最大值，所以这个界限完全没用。

如何解决这个问题，使区间库真正利用更高的精度并产生更清晰的边界？

Answer 1

首先，我使用 cos 而不是 sin 进行了测试。

区间库按照 cos(x-½π) 实现 sin(x)。这意味着 sin([0, 0.1]) 被转换为 cos([-½π,-½π+0.1])（递归为 cos([½π,½π+0.1])）。

在 BigFloat 的情况下，由于库不知道 Pi 常量（pi<BigFloat>()、pi_half<BigFloat>() 或 pi_twice<BigFloat>()），它将它们表示为整数区间，例如：pi_half<BigFloat>表示为[1,2]。哎呀。 cos 间隔变为 [-2,-0.9]（递归到 [0,3.1]¹）。

添加一些跟踪：

DOUBLE--------------------
pi/2: [1.570796326794896558,1.57079632679489678]
sin: [0,0.10000000000000000555]
cos: [-1.57079632679489678,-1.4707963267948964692]
cos: [1.5707963267948961139,1.6707963267948979791]
[-5.0532154980743028885e-16,0.099833416646829500896]
BigFloat--------------------
pi/2: [1,2]
sin: [0,0.10000000000000000555]
cos: [-2,-0.89999999999999999445]
cos: [0,3.1000000000000000056]
[-1,1]

解决方案？

我能想到的最佳解决方案是直接使用 cos 或专门化 pi_half:

直接使用`cos`

这不是解决方案，因为它仍然会在内部使用一些损坏的 pi_*<BigFloat>() 常量：

static BigFloat bf_pi_half() { return bmp::default_ops::get_constant_pi<BigFloat::backend_type>() / BigFloat(2); }

现在你可以写了

Live On Coliru

std::cout << "BigFloat--------------------\n";
std::cout << cos(ival - bf_pi_half()) << "\n";

打印

BigFloat--------------------
[-0.909297,0.818277]

如您所见，这不是所需的输出。

特化常量

事实上，你应该特化底层常量：

Live On Coliru

#include <iostream>
#include <boost/multiprecision/cpp_dec_float.hpp>
#include <boost/multiprecision/detail/default_ops.hpp>
#include <boost/numeric/interval.hpp>
#include <boost/numeric/interval/io.hpp>

namespace bn  = boost::numeric;
namespace bni = bn::interval_lib;
namespace bmp = boost::multiprecision;

template <typename T>
using Interval = bn::interval<T, bni::policies<bni::save_state<bni::rounded_transc_exact<T>>, bni::checking_base<T>>>;
using BigFloat = bmp::cpp_dec_float_100; // bmp::number<bmp::backends::cpp_dec_float<100>, bmp::et_off>;

static BigFloat bf_pi() { return bmp::default_ops::get_constant_pi<BigFloat::backend_type>(); }

namespace boost { namespace numeric { namespace interval_lib { namespace constants {
    template<> inline BigFloat pi_lower<BigFloat>()       { return bf_pi(); }
    template<> inline BigFloat pi_upper<BigFloat>()       { return bf_pi(); }
    template<> inline BigFloat pi_twice_lower<BigFloat>() { return bf_pi() * 2; }
    template<> inline BigFloat pi_twice_upper<BigFloat>() { return bf_pi() * 2; }
    template<> inline BigFloat pi_half_lower<BigFloat>()  { return bf_pi() / 2; }
    template<> inline BigFloat pi_half_upper<BigFloat>()  { return bf_pi() / 2; }
} } } }

int main() {
    std::cout << sin(Interval<BigFloat>(0, 0.1)) << "\n";
}

这会打印：

[0,0.0998334]

¹ 这实际上是在使用 pi_twice<> 常量

使用多精度提高间隔

Boost Interval with Multiprecision

c++

boost

intervals

multiprecision

boost-multiprecision

解决方案？

直接使用`cos`

特化常量

使用多精度提高间隔

Boost Interval with Multiprecision

c++

boost

intervals

multiprecision

boost-multiprecision

解决方案？

直接使用cos

特化常量

直接使用`cos`