破坏固定点时，添加假设而不简化

Question

假设我必须证明以下引理：

Require Import Coq.Arith.EqNat.

Lemma myLemma: forall m,
  if beq_nat m 0
  then m = 0
  else m <> 0.

然后我这样做：

Proof.
  intro.
  destruct (beq_nat m 0).  (* [1] *)
  - (* [2] *)
  - (* ???? Can't do anything *)
Qed.

然后在[1]点，destruct进行案例分析，先将beq_nat m 0替换为if中的true，简化为目标 m = 0，没有额外的假设（在点 [2]）。

我的问题是：不是拆分目标，替换和简化，有没有办法拆分目标，并添加相应的案例作为假设？

也就是说，在 [2] 点，而不是具有以下内容：

m : nat
______________________________________(1/1)
m = 0

我想要：

m : nat
true = PeanoNat.Nat.eqb m 0
______________________________________(1/1)
if PeanoNat.Nat.eqb m 0 then m = 0 else m <> 0

并继续进行以下证明。

(N.B.: 这是一个非常虚的mwe，我知道还有其他方法可以在这里完成，我的意思不是完成这个特定的证明，而是有一个方法来得到一个假设来自破坏）。

Answer 1

您可以使用

代替destruct (beq_nat m 0)

destruct (beq_nat m 0) eqn:Equation_name.

或

case_eq (beq_nat m 0).

destruct ... eqn:E 就像 case_eq ...; intros E。阅读这篇 .

后，您可以了解更多关于 destruct 和 case 之间的区别

前两个选项简化了事情，但我们可以这样做来避免简化：

remember (beq_nat m 0) as b eqn:E; rewrite E; destruct b.

第三个选项会给你这样的证明状态

m : nat
E : true = PeanoNat.Nat.eqb m 0
============================
if PeanoNat.Nat.eqb m 0 then m = 0 else m <> 0

第一个子目标。

When destructing fixpoint, add hypothesis without simplifying