由 Python 计算的矩阵的特征向量似乎不是特征向量

Question

提前致歉，Python不是我的强项。

与该矩阵的实特征值对应的特征向量（由 Python 计算）似乎不是特征向量，而由 Wolfram Alpha 计算的特征向量似乎有效。（我的同事证实，在 R 中执行计算时似乎出现了相同的病理情况，尽管我没有成绩单。）代码片段：

>>> import numpy as np
>>> in_matrix = np.array([[0.904, 0.012, 0.427], [-0.0032, 0.99975, -0.02207], [-0.4271, 0.0186, 0.904]])
>>> evals, evecs = np.linalg.eig(in_matrix)
>>> print evals
[ 0.90388357+0.42760138j  0.90388357-0.42760138j  0.99998285+0.j]
>>> print evecs[2]
[ 0.70696571+0.j  0.70696571-0.j  0.01741090+0.j]
>>> print in_matrix.dot(evecs[2])
[ 0.65501505+0.j  0.70414242+0.j -0.27305604+0.j]

请注意，将 evecs[2] 乘以 in_matrix 变量会产生一个新向量，该向量不是 evecs[2]（特征向量应为 1）。

将相同的矩阵代入 Wolfram Alpha 生成实特征值的特征向量 (-0.0474067, -0.998724, 0.0174109)。正如预期的那样，将 in_matrix 乘以这个特征向量确实会产生相同的向量。

>>> wolfram_vec = np.array([-0.0474067, -0.998724, 0.0174109])
>>> print in_matrix.dot(wolfram_vec)
[-0.04740589 -0.99870688  0.01741059]

Wolfram（正确）特征向量对应负 Y 轴，而 numpy 给出 (sqrt(2), sqrt(2), 0).

底线：来自 numpy 的特征向量不是特征向量，但 Wolfram Alpha 特征向量是正确的（并且看起来是）。任何人都可以对此有所了解吗？

这已经在 Mac OS X 上的标准安装 Python 2.7.10 和 Centos 上的自定义安装 Python 2.7.8 上进行了测试6.8.

Answer 1

引用文档：

v : (..., M, M) array
    The normalized (unit "length") eigenvectors, such that the
    column ``v[:,i]`` is the eigenvector corresponding to the
    eigenvalue ``w[i]``.

您需要提取列 evecs[:, i]，而不是行 evecs[i]。

In [30]: evecs[:, 2]
Out[30]: array([-0.04740673+0.j, -0.99872392+0.j,  0.01741090+0.j])

您可能认为它与 Wolfram 向量相同。所有三个特征向量都是正确的：

In [31]: in_matrix.dot(evecs[:, 0]) - evals[0] * evecs[:, 0]
Out[31]: 
array([  5.55111512e-17 +1.11022302e-16j,
        -7.11236625e-17 +1.38777878e-17j,   2.22044605e-16 -1.66533454e-16j])

In [32]: in_matrix.dot(evecs[:, 1]) - evals[1] * evecs[:, 1]
Out[32]: 
array([  5.55111512e-17 -1.11022302e-16j,
        -7.11236625e-17 -1.38777878e-17j,   2.22044605e-16 +1.66533454e-16j])

In [33]: in_matrix.dot(evecs[:, 2]) - evals[2] * evecs[:, 2]
Out[33]: array([  3.46944695e-17+0.j,   4.44089210e-16+0.j,   3.15719673e-16+0.j])

其中每个结果都是 [0, 0, 0]，在预期的精度范围内。

由 Python 计算的矩阵的特征向量似乎不是特征向量

Eigenvector of matrix computed by Python does not appear to be an eigenvector

python

numpy

matrix

eigenvalue

eigenvector