R 使用什么类型的正交多项式？

Question

我试图在 R 中匹配以下代码中的正交多项式：

X <- cbind(1, poly(x = x, degree = 9))

但在 python。

为此，我实现了我自己的给出正交多项式的方法：

def get_hermite_poly(x,degree):
    #scipy.special.hermite()
    N, = x.shape
    ##
    X = np.zeros( (N,degree+1) )
    for n in range(N):
        for deg in range(degree+1):
            X[n,deg] = hermite( n=deg, z=float(x[deg]) )
    return X

虽然看起来不太符合。有人知道它使用的正交多项式的类型吗？我尝试在文档中搜索但没有说。

为了提供一些上下文，我试图在 python (https://stats.stackexchange.com/questions/313265/issue-with-convergence-with-sgd-with-function-approximation-using-polynomial-lin/315185#comment602020_315185) 中实现以下 R 代码：

set.seed(1234)

N <- 10
x <- seq(from = 0, to = 1, length = N)
mu <- sin(2 * pi * x * 4)
y <- mu
plot(x,y)

X <- cbind(1, poly(x = x, degree = 9))
# X <- sapply(0:9, function(i) x^i)
w <- rnorm(10)

learning_rate <- function(t) .1 / t^(.6)

n_samp <- 2
for(t in 1:100000) {
  mu_hat <- X %*% w
  idx <- sample(1:N, n_samp)
  X_batch <- X[idx,]
  y_batch <- y[idx]
  score_vec <- t(X_batch) %*% (y_batch - X_batch %*% w)

  change <- score_vec * learning_rate(t)
  w <- w + change
}

plot(mu_hat, ylim = c(-1, 1))
lines(mu)
fit_exact <- predict(lm(y ~ X - 1))
lines(fit_exact, col = 'red')
abs(w - coef(lm(y ~ X - 1)))

因为它似乎是唯一适用于具有多项式特征的线性回归梯度下降的方法。

我觉得任何正交多项式（或至少正交多项式）都应该起作用并给出条件编号为 1 的粗麻布，但我似乎无法使其在 python 中起作用。相关问题：How does one use Hermite polynomials with Stochastic Gradient Descent (SGD)?

Answer 1

poly 使用 QR 分解，如中的一些详细描述。

我认为您真正要寻找的似乎是如何使用 python 复制 R 的 poly 的输出。

我在这里编写了一个基于 R 实现的函数。我还添加了一些评论，以便您可以看到 R 中的等效语句是什么样的：

import numpy as np

def poly(x, degree):
    xbar = np.mean(x)
    x = x - xbar

    # R: outer(x, 0L:degree, "^")
    X = x[:, None] ** np.arange(0, degree+1)

    #R: qr(X)$qr
    q, r = np.linalg.qr(X)

    #R: r * (row(r) == col(r))
    z = np.diag((np.diagonal(r)))  

    # R: Z = qr.qy(QR, z)
    Zq, Zr = np.linalg.qr(q)
    Z = np.matmul(Zq, z)

    # R: colSums(Z^2)
    norm1 = (Z**2).sum(0)

    #R: (colSums(x * Z^2)/norm2 + xbar)[1L:degree]
    alpha = ((x[:, None] * (Z**2)).sum(0) / norm1 +xbar)[0:degree]

    # R: c(1, norm2)
    norm2 = np.append(1, norm1)

    # R: Z/rep(sqrt(norm1), each = length(x))
    Z = Z / np.reshape(np.repeat(norm1**(1/2.0), repeats = x.size), (-1, x.size), order='F')

    #R: Z[, -1]
    Z = np.delete(Z, 0, axis=1)
    return [Z, alpha, norm2];

检查这是否有效：

x = np.arange(10) + 1
degree = 9
poly(x, degree)

返回矩阵的第一行是

[-0.49543369,  0.52223297, -0.45342519,  0.33658092, -0.21483446,
  0.11677484, -0.05269379,  0.01869894, -0.00453516],

与R中的相同操作相比

poly(1:10, 9)
# [1] -0.495433694  0.522232968 -0.453425193  0.336580916 -0.214834462
# [6]  0.116774842 -0.052693786  0.018698940 -0.004535159

R 使用什么类型的正交多项式？

What type of orthogonal polynomials does R use?

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