我可以在 sympy 中使用符号叉积运算吗

Question

嗨，

我正在尝试编写用于计算 3D 多项式的符号库以分析方式（变量是实数值 t，多项式的单项式是 3D 向量）。特别是，我想计算两个多项式的叉积（在 that question 的跟进中）。在 Sympy 中，我发现我可以：

使用 sympy.physics.mechanics 包中的显式向量变量（具有实数值），在本例中定义了叉积。
使用矩阵符号，但没有为这些符号定义叉积。

有什么方法可以象征性地表示 sympy 中的叉积？

编辑：特别是，我感兴趣的是使两个相同向量的叉积无效，并在根据其中一个向量分解多项式时考虑反对易属性。

新编辑：为了让自己更清楚，我想留在"symbolic level"上。那是，我不想沿着每个变量开发我的向量项。

例如，这里是计算贝塞尔曲线的代码：

from sympy import *

init_printing(use_unicode=True)

from scipy.special import binom

#default control points of a Bezier curve
p_is = [symbols('p'+str(i))  for i in range(5)] 


class Bezier:    
    #eq is the equation of the curve, pis are the stored control point
    #for special purpose such as the derivatives
    def __init__(self, deg, eq = None, pis = None):
        assert(deg)
        self.deg = deg;
        n_pts = deg +1 
        if pis == None:
            self.pis = p_is[:n_pts]
        else:
            self.pis = pis[:]; 
        if eq == None:
            #computing the bernstein polynoms for a given degree
            factors = [binom(deg,i) * t**i * (1-t)**(deg-i)*pis[i] for i in range(n_pts)]
            self.eq = sum(factors);
        else:
            self.eq = eq


    def __repr__(self):
        res  = "Degree : "        + str(self.deg) 
        res += "\nEquation : "    + self.eq.__repr__()
        res += "\nwaypoints :\n"  + str(self.pis) 
        return res


    def __str__(self):
        return self.__repr__()


b = Bezier(3)

print b 
# Degree : 3
# Equation : 1.0*p0*(-t + 1)**3 + 3.0*p1*t*(-t + 1)**2 + 3.0*p2*t**2*(-t + 1) + 1.0*p3*t**3
# waypoints :
# [p0, p1, p2, p3]

print b.eq
# 1.0*p0*(-t + 1)**3 + 3.0*p1*t*(-t + 1)**2 + 3.0*p2*t**2*(-t + 1) + 1.0*p3*t**3

正如你所看到的，变量 p_is 是矢量这一事实并不真正相关，除非出现叉积的情况。如果我要计算 b 与自身的叉积，那么几个项将消失，因为一些向量将与自身交叉。

我试图做的是 "emulate" 叉积与一个简单的乘法，然后遍历生成的方程以删除所有平方项（对应于零）。但这还不够因为乘积不保留叉积的反交换方面。

我真正想要的是实际的叉积符号（比如 X）出现在等式中。我希望我更清楚

非常感谢您的帮助

史蒂夫

Answer 1

我找到了适合我的情况的解决方案（我只应用一次叉积，需要一些思考才能考虑扩展）。这个想法是使用额外的符号来表示实现叉积的偏斜对称矩阵。比如p0 ^ p1会写成Cp0 * p1。我实现了一种实现此目的的方法，并且还确保如果 pi ^ pi = 0.

为了更好地分解，我根据符号的字母顺序引入了任意顺序的转换。这意味着 p2 ^ p1 将被写成 -Cp1 * p2 这样做的原因是 sympy 不会检测到其他简化，例如 Cp2 ^ p1 + Cp1 ^p2 = 0。

无论如何，这有点老套，但就我而言，它允许我编写我的库，所以就在这里。

执行叉积的方法是 "cross"，在文件末尾。

#declaring vector symbols variables
p_is = [symbols('p'+str(i))  for i in range(20)]
#the cross product will be represented 
#by the skew symmetric matrix Cpi for a vector pi.
#Since in the resulting equation, symbols seem to appeer
#in alphabetic order, the matrix multiplication will be coherent
p_isX = [symbols('Cp'+str(i)+'')  for i in range(20)]

#achieves the cross product between two elements
#s0 and s1 are the considered vector symbols (here, two pis)
#e0 and e1 are the scalar multiplier of each term
def crossElement(s0,e0,s1,e1):
    if s0 == s1:
        return 0
    else:
        # here, take order of apparition into account to allow 
        # future factorization. Otherwise
        # something like p0 X p1 + p1 X p0 will not be dientified as zero
        id0 = p_is.index(s0)
        id1 = p_is.index(s1)
        if(id0 < id1):
            return simplify(e1*e0*p_isX[id0]*s1)
        else:
            return simplify((-e1)*e0*p_isX[id1]*s0)

#retrieve all the pis and associate scalar factors
#from an equation
def getAllSymbols(eq):
    res = []
    for el in p_is:
        dic = eq.as_poly(el).as_dict()
        if(len(dic) > 1): 
            res += [(el, dic[(1,)])]
    return res;

#generates the cross product of two equations,
#where each pi term is a vector, and others
#are scalar variable.
#cross product
def cross(eq1,eq2):
    decomp1 = getAllSymbols(eq1)
    decomp2 = getAllSymbols(eq2)
    res = 0
    #applies distributive cross product between
    #all terms of both equations
    for (s0, e0) in decomp1:
        for (s1, e1) in decomp2:
            res += crossElement(s0,e0,s1,e1)
    return res

我可以在 sympy 中使用符号叉积运算吗

Can I use symbolic cross product operations in sympy

python

sympy

polynomials