获得 e 值的最快方法是什么？

Question

以中等精度找到 e 值的最优化算法是什么？

我正在寻找对速度比高精度更重要的优化方法之间的比较。

编辑：中等准确度是指最多 6-7 位小数。但如果速度相差很大，那我可以用4-5个地方解决。

Answer 1

参考这里兄弟的公式：https://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/calculating-e.php

Answer 2

基本数据类型

正如评论中提到的 6-7 小数位精度太低，算法无法做到这一点。而是使用一个常数，这是最快的方法。
```
const double e=2.7182818284590452353602874713527;
```
如果涉及到FPU，常量通常也存储在那里......而且具有单个常量比计算它的函数占用space少得多......

有限精度

只有涉及 bignum 时，才有用算法计算 e 的优点。该算法取决于目标精度。同样，对于较小的精度，使用预定义常量：

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170189

但通常采用十六进制格式以便更快、更精确地操作：

e=2.B7E151628AED2A6ABF7158809CF4F3C762E7160F38B4DA56A784D9045190CFEF324E7738926CFBE5F4BF8D8D8C31D763DA06C80ABB1185EB4F7C7B5757F5958490CFD47D7C19BB42158D9554F7B46BCED55C4D79FD5F24D6613C31C3839A2DDF8A9A276BCFBFA1C877C56284DAB79CD4C2B3293D20E9E5EAF02AC60ACC93ECEBh

对于 limited/finite 准确性和最佳速度来说，PSLQ 算法是最好的。我的理解是它是寻找实数和整数迭代之间关系的算法。

here is my favourite PSLQ up to 800 digits of Pi PSLQ example

任意精度

对于任意或 "fixed" 精度，您需要具有可变精度的算法。这就是我在 arbnum class:
中使用的
```
e=(1+1/x)^x where x -> +infinity
```
如果您选择 x 作为 2 的幂，请意识到 x 只是数字的单个设置位，而 1/x 具有可预测的位宽。所以 e 将通过单除和 pow 获得。举个例子：
```
arbnum arithmetics_e()          // e computation min(_arbnum_max_a,arbnum_max_b)*5 decimals
    {                           // e=(1+1/x)^x  ... x -> +inf
    int i; arbnum c,x;
    i=_arbnum_bits_a; if (i>_arbnum_bits_b) i=_arbnum_bits_b; i>>=1;
    c.zero(); c.bitset(_arbnum_bits_b-i); x.one(); x/=c; c++;
    for (;!x.bitget(_arbnum_bits_b);x>>=1) c*=c;    //=pow(c,x);
    return c;
    }
```
其中_arbnum_bits_a,_arbnum_bits_b是二进制中小数点前后的位数。所以它分解为一些位运算，一个 bignum 除法和平方的单一幂。请注意，乘法和除法对于 bignums 并不那么简单，并且通常涉及 Karatsuba 或更糟的...

还有一些多项式方法不需要 bignum 类似于计算 Pi 的算法。这个想法是在不影响先前计算的位（太多）的情况下每次迭代计算二进制位块。它们应该更快，但与往常一样，对于任何依赖于其运行的实现和硬件的优化。

获得 e 值的最快方法是什么？

What is the fastest way to get the value of e?

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