python 中的特征向量给出看似随机的元素符号

Question

我是运行以下代码：

import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use("TkAgg")
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100
t = 1

a1 = np.full((N-1,), -t)
a2 = np.full((N,), 2*t)
Hamiltonian = np.diag(a1, -1) +  np.diag(a2) + np.diag(a1, 1)

eval, evec = np.linalg.eig(Hamiltonian)
idx = eval.argsort()[::-1]
eval, evec = eval[idx], evec[:,idx]

wave2 = evec[2] / np.sum(abs(evec[2]))
prob2 = evec[2]**2 / np.sum(evec[2]**2)

_ = plt.plot(wave2)
_ = plt.plot(prob2)
plt.show()

而出来的剧情是这样的：

但我希望蓝线也是正弦曲线。这让我很困惑，我找不到导致符号突然变化的原因。绘制函数绝对表明与每个 x 关联的值都很好，但符号搞砸了。

关于可能导致此问题或如何解决的任何想法？

Answer 1

我可能错了，但它们不都是有效的本征 vectors/values 吗？符号无关紧要，因为特征向量的定义是：

In linear algebra, an eigenvector or characteristic vector of a linear transformation is a non-zero vector that only changes by an overall scale when that linear transformation is applied to it.

仅仅因为比例为负并不意味着它无效。

See this post about Matlab's eig that has a similar problem

解决这个问题的一种方法是简单地选择一个符号作为开始，然后将不符合该符号的所有内容乘以 -1（或者将每个元素的 abs 乘以您期望的符号).对于您的结果，这应该有效（没有任何内容超过 0）。

matlab 和 numpy 都不关心你要解决的问题，它的简单数学表明两个带符号的 eigenvector/value 组合都是有效的，你的值是正弦曲线，只是存在两组 eigenvector/value有效（消极和积极）

Answer 2

这是您的脚本的修改版本，可以满足您的预期。变化是：

更正了特征向量的索引；它们是 evec.
使用 np.linalg.eigh 而不是 np.linalg.eig。这不是绝对必要的，但您不妨使用更高效的代码。
不要颠倒已排序特征值的顺序。我将特征值从最低到最高排序。因为eighreturns特征值是升序排列的，我只是把特征值排序的代码注释掉了

（只有第一个更改是必需的更正。）

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100
t = 1

a1 = np.full((N-1,), -t)
a2 = np.full((N,), 2*t)
Hamiltonian = np.diag(a1, -1) +  np.diag(a2) + np.diag(a1, 1)

eval, evec = np.linalg.eigh(Hamiltonian)
#idx = eval.argsort()[::-1]
#eval, evec = eval[idx], evec[:,idx]

k = 2
wave2 = evec[:, k] / np.sum(abs(evec[:, k]))
prob2 = evec[:, k]**2 / np.sum(evec[:, k]**2)

_ = plt.plot(wave2)
_ = plt.plot(prob2)
plt.show()

剧情：

python 中的特征向量给出看似随机的元素符号

Eigen vectors in python giving seemingly random element-wise signs

python

numpy

linear-algebra

eigenvector