没有曲线拟合工具箱的指数曲线拟合？

Question

我有一些数据点需要拟合

形式的指数曲线

y = B * exp(A/x)

（没有 Curve Fitting Toolbox 的帮助）。

到目前为止，我尝试通过应用对数对模型进行线性化，结果是

log(y/B) = A/x

log(y) = A/x + log(B)

然后我可以把它写成

Y = AX + B

现在，如果我忽略B，那么我可以用

解决它

A = pseudoinverse (X) * Y

但我坚持 B...

的值

Answer 1

进行对数变换然后使用线性回归应该可以做到。维基百科有一个很好的部分介绍如何做到这一点： http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_%28mathematics%29#The_general_problem

    %MATLAB code for finding the best fit line using least squares method
    x=input('enter a')                      %input in the form of matrix, rows contain points
        a=[1,x(1,1);1,x(2,1);1,x(3,1)]          %forming A of Ax=b
        b=[x(1,2);x(2,2);x(3,2)]                %forming b of Ax=b
        yy=inv(transpose(a)*a)*transpose(a)*b   %computing projection of matrix A on b, giving x
    %plotting the best fit line
      xx=linspace(1,10,50);
      y=yy(1)+yy(2)*xx;
      plot(xx,y)
         %plotting the points(data) for which we found the best fit line
     hold on
        plot(x(2,1),x(2,2),'x')
     hold on
        plot(x(1,1),x(1,2),'x')
     hold on
        plot(x(3,1),x(3,2),'x')
     hold off

我确定可以清理代码，但这就是它的要点。

Answer 2

拟合形式的曲线

y = b * exp(a / x)

某些数据点(xi, yi)在最小二乘意义上是困难的。您不能为此使用线性最小二乘法，因为模型参数（a 和 b）不会以仿射方式出现在方程中。除非您准备好使用某种非线性最小二乘法，否则另一种方法是修改优化问题，以便修改后的问题可以使用线性最小二乘法求解（此过程是有时称为 "data linearization"）。让我们这样做吧。

假设b和yi为正数，可以对等式两边取自然对数：

log(y) = log(b) + a / x

或

a / x + log(b) = log(y)

通过引入一个新参数 b2，定义为 log(b)，很明显参数 a 和 b2 以线性（仿射，真的）方式出现在新等式中：

a / x + b2 = log(y)

因此，您可以使用最小二乘法计算这些参数的最优值；您剩下要做的就是构建正确的线性系统，然后使用 MATLAB 的反斜杠运算符对其求解：

A = [1 ./ x, ones(size(x))];
B = log(y);
params_ls = A \ B;

（这里我假设 x 和 y 是列向量。）

然后，修改后的问题的最优值（在最小二乘意义上）由下式给出：

a_ls = params_ls(1);
b_ls = exp(params_ls(2));

虽然这些值通常不是原始问题的最优值，但在实践中它们通常是 "good enough"。如果需要，您始终可以将它们用作某些迭代非线性最小二乘法的初始猜测。

没有曲线拟合工具箱的指数曲线拟合？

Exponential curve fitting without the Curve Fitting toolbox?

matlab

curve-fitting