在 Julia 中计算稀疏矩阵的对数行列式

Question

我对计算大型、稀疏、复杂（浮点）矩阵的行列式的对数很感兴趣。我的第一个想法是使用 LU 分解，即：

srand(123) 
A=complex.(rand(3,3), rand(3,3))

LUF=lufact(A)
LUFs=lufact(sparse(A))

if round(det(LUFs[:L])*det(LUFs[:U])-det(A[LUFs[:p], LUFs[:q]]), 5)==0
    println("Sparse LU determinant is correct\n")
else
    println("Sparse LU determinant is NOT correct\n")
end

将始终打印出 "NOT correct" 选项。此外，

round.(LUFs[:L]*LUFs[:U], 5)==round.(A[LUFs[:p], LUFs[:q]], 5)

结果总是假的。

如果我尝试直接使用

logdet(LUFs)

或

logdet(sparse(A))

我得到一个错误：

LoadError: MethodError: no method matching
logabsdet(::Base.SparseArrays.UMFPACK.UmfpackLU{Complex{Float64},Int64})
Closest candidates are:
logabsdet(!Matched::Base.LinAlg.UnitUpperTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)) where T at linalg/triangular.jl:2184
logabsdet(!Matched::Base.LinAlg.UnitLowerTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)) where T at linalg/triangular.jl:2185
logabsdet(!Matched::Union{LowerTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T), UpperTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)}) where T at linalg/triangular.jl:2189
...
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我不确定我的编码方式是否有问题（我是从 matlab 过渡过来的初学者），或者我的 Julia 安装是否有问题（尽管我已经在另一台电脑）。如果您能给我任何建议，那就太好了！

Answer 1

原因是稀疏 LU 也有一个比例因子，可以用 LUFs[:Rs] 提取（在 Julia 0.6 中和 LUFs.Rs 在 Julia 0.7- 中）。因此计算变为

julia> det(LUFs[:U])/prod(LUFs[:Rs])
0.4576579970452131 - 0.07585833005688908im

julia> det(A)
0.4576579970452133 - 0.07585833005688908im

对于稀疏情况，我们可能也应该有 logabsdet。但是，您的矩阵是正定的吗？这样，您就可以计算 Cholesky 分解的 logdet。

在 Julia 中计算稀疏矩阵的对数行列式

Computing the logdeterminant of a Sparse Matrix in Julia

sparse-matrix

determinants

julia

matrix-factorization