计算 scipy 稀疏矩阵的稀疏传递闭包

Question

我想计算 Python 中稀疏矩阵的 transitive closure。目前我正在使用 scipy 稀疏矩阵。

矩阵幂（**12 在我的例子中）在非常稀疏的矩阵上运行良好，无论它们有多大，但对于定向的不那么稀疏的情况，我想使用更智能的算法。

我找到了 Floyd-Warshall algorithm (German page has better pseudocode) in scipy.sparse.csgraph，它比它应该做的多了一点：没有仅针对 Warshall 算法 的功能 - 也就是说一件事。

主要问题是我可以将稀疏矩阵传递给函数，但这完全没有意义，因为函数总是 return 密集矩阵，因为传递闭包中应该为 0 的现在是inf 长度的路径，有人认为这需要明确存储。

所以我的问题是：是否有任何 python 模块允许计算稀疏矩阵的传递闭包 并使其保持稀疏 ？

我不是 100% 确定他使用相同的矩阵，但是 Gerald Penn 在 his comparison paper 中表现出令人印象深刻的加速，这表明有可能解决问题。

编辑： 由于存在一些混淆，我将指出理论背景：

我正在寻找 传递闭包（非自反或对称）。

我将确保我在布尔矩阵中编码的关系具有所需的属性，即 symmetry 或 reflexivity。

我有两个关系:

自反

反身和对称

我想对这两个关系应用传递闭包。这与矩阵幂一起工作得很好（只是在某些情况下它太昂贵了）：

>>> reflexive matrix([[ True, True, False, True], [False, True, True, False], [False, False, True, False], [False, False, False, True]]) >>> reflexive**4 matrix([[ True, True, True, True], [False, True, True, False], [False, False, True, False], [False, False, False, True]]) >>> reflexive_symmetric matrix([[ True, True, False, True], [ True, True, True, False], [False, True, True, False], [ True, False, False, True]]) >>> reflexive_symmetric**4 matrix([[ True, True, True, True], [ True, True, True, True], [ True, True, True, True], [ True, True, True, True]])

所以在第一种情况下，我们得到一个节点的所有后代（包括它自己），在第二种情况下，我们得到所有组件，即同一组件中的所有节点。

Answer 1

这是 on SciPy issue tracker 提出来的。问题不在于输出格式； Floyd-Warshall 的实现是从充满无穷大的矩阵开始，然后在找到路径时插入有限值。稀疏性立即消失。

networkx 库提供了另一种选择 all_pairs_shortest_path_length。它的输出是一个迭代器，其中 returns 个形式为

的元组

(source, dictionary of reachable targets)

需要一点工作才能转换为 SciPy 稀疏矩阵（这里的 csr 格式很自然）。一个完整的例子：

import numpy as np
import networkx as nx
import scipy.stats as stats
import scipy.sparse as sparse

A = sparse.random(6, 6, density=0.2, format='csr', data_rvs=stats.randint(1, 2).rvs).astype(np.uint8)
G = nx.DiGraph(A)       # directed because A need not be symmetric
paths = nx.all_pairs_shortest_path_length(G)
indices = []
indptr = [0]
for row in paths:
  reachable = [v for v in row[1] if row[1][v] > 0]
  indices.extend(reachable)
  indptr.append(len(indices))
data = np.ones((len(indices),), dtype=np.uint8)
A_trans = A + sparse.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=A.shape)
print(A, "\n\n", A_trans)

加回A的原因如下。 Networkx 输出包括长度为 0 的路径，它会立即填充对角线。我们不希望这种情况发生（你想要传递闭包，而不是自反传递闭包）。因此，行 reachable = [v for v in row[1] if row[1][v] > 0]。但是我们根本没有得到任何对角线条目，即使 A 有它们（0 长度空路径击败由自循环形成的 1 长度路径）。所以我将 A 添加回结果。它现在有条目 1 或 2，但只有它们非零的事实才有意义。

上述运行的示例（为了输出的可读性，我选择 6 x 6 大小）。原始矩阵：

  (0, 3)    1
  (3, 2)    1
  (4, 3)    1
  (5, 1)    1
  (5, 3)    1
  (5, 4)    1
  (5, 5)    1

传递闭包：

  (0, 2)    1
  (0, 3)    2
  (3, 2)    2
  (4, 2)    1
  (4, 3)    2
  (5, 1)    2
  (5, 2)    1
  (5, 3)    2
  (5, 4)    2
  (5, 5)    1

您可以看到这工作正常：添加的条目是 (0, 2)、(4, 2) 和 (5, 2)，都是通过路径 (3, 2) 获得的。

顺便说一句，networkx 也有 floyd_warshall 方法，但它的文档说

This algorithm is most appropriate for dense graphs. The running time is O(n^3), and running space is O(n^2) where n is the number of nodes in G.

输出又密集了。我的印象是这个算法本质上被认为是密集的。 all_pairs_shortest_path_length 似乎是一种 Dijkstra's algorithm.

传递和自反

如果您想要 传递和自反 闭包（包含给定关系的最小传递和自反关系），代码简化了，因为我们不再担心 0 长度路径。

for row in paths:
  indices.extend(row[1])
  indptr.append(len(indices))
data = np.ones((len(indices),), dtype=np.uint8)
A_trans = sparse.csr_matrix((data, indices, indptr), shape=A.shape)

传递、自反和对称

这意味着找到包含给定关系的最小等价关系。等价地，将顶点划分为连通分量。为此你不需要去networkx，有SciPy的connected_components方法。在那里设置 directed=False。示例：

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import scipy.sparse as sparse
import itertools

A = sparse.random(20, 20, density=0.02, format='csr', data_rvs=stats.randint(1, 2).rvs).astype(np.uint8)
components = sparse.csgraph.connected_components(A, directed=False)
nonzeros = []
for k in range(components[0]):
  idx = np.where(components[1] == k)[0]
  nonzeros.extend(itertools.product(idx, idx))
  row = tuple(r for r, c in nonzeros)
  col = tuple(c for r, c in nonzeros)
  data = np.ones_like(row)
B = sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=A.shape)

这是随机示例 20 x 20 的输出 print(B.toarray()) 的样子：

[[1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
 [0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 [1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
 [0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 [1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0]
 [1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0]
 [1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1]]

计算 scipy 稀疏矩阵的稀疏传递闭包

Compute sparse transitive closure of scipy sparse matrix

python

numpy

scipy

sparse-matrix

floyd-warshall

传递和自反

传递、自反和对称