Haskell：hackage Control.Applicative 文章中对应用函子法则的描述存在缺陷？：它说 Applicative determines Functor

Question

我想我在 the hackage article for Control.Applicative 中发现了一个缺陷。作为应用函子定律的描述，它说：

class Functor f => Applicative f where
A functor with application, providing operations to embed pure expressions (pure), and sequence computations and combine their results (<*>).

A minimal complete definition must include implementations of these functions satisfying the following laws:

identity
pure id <*> v = v
composition
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
homomorphism
pure f <*> pure x = pure (f x)
interchange
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

（请注意，这并没有说明任何关于 fmap 的内容）并且它指出这些法则决定了 Functor 实例：

As a consequence of these laws, the Functor instance for f will satisfy
fmap f x = pure f <*> x

起初我认为这显然是错误的。也就是说，我猜测一定存在满足以下两个条件的类型构造函数t：

t 是满足上述规则的 Applicative 的实例，并且
instance (Functor t)有两种不同的实现方式（即有两个不同的函数 fmap1, fmap2 :: (a->b) -> (t a->t b)，满足函子定律）。

如果（且仅当）以上是正确的，上面的语句必须改写为

The Functor instance for f must satisfy
fmap f x = pure f <*> x
As a consequence of these laws, this satisfies the Functor laws.

这显然是正确的，不管我猜对不对。

我的问题是：我的猜测是否正确？有符合条件的t吗？

下面是我在尝试自己回答这个问题时的想法的解释。

如果我们只是数学家对实际的Haskell编程不感兴趣，我们可以很容易地肯定地回答这个问题。事实上，

t = Identity
newtype Identity a = Identity {runIdentity :: a}

满足上面1和2的要求（其实几乎什么都行）。实际上，Identity 是 Functor 和 Applicative 的普通实例，如 Data.Functor.Identity 中所定义。（这满足fmap f = (pure f <*>)。）要定义 instance (Functor f) 的另一个 "implementation"，对于每个类型 a，取两个函数

transf_a, tinv_a :: a -> a

这样

tinv_a . transf_a = id

（这很容易理论上设置）。现在定义

instance (Functor Identity) where
 fmap (f :: a->b) = Identity . transf_b . f . tinv_a . runIdentity

这满足 Functor 法则，如果有

x :: a
f :: a -> b

这样

f x /= transf_b $ f $ tinv_a x

但我们能否在Haskell中做到这一点并不明显。是这样的：

class (Isom a) where
 transf, tinv :: a -> a

instance (Isom a) where
 transf = id
 tinv = id

specialized instance (Isom Bool) where
 transf = not
 tinv = not

可能在 Haskell?

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我忘了写一些很重要的东西。我认识到 Control.Applicative 是 GHC 基础包的一部分，所以我也很想知道我的问题的答案是否会随着任何 GHC 语言扩展而改变，例如 FlexibleInstances 或 OverlappingInstances，我不知道还没看懂

Answer 1

Haskell 中的任何类型最多可以有一个 Functor 的实例，因此您的猜测不正确：对于 no，类型 t（不管它是否是Applicative的实例）是否存在instance (Functor t)的两种不同实现。参见：http://article.gmane.org/gmane.comp.lang.haskell.libraries/15384

Answer 2

它是一个属性类型的a -> a，它只有两个居民，即id :: a -> a（定义为id x = x）和bottom :: a -> a定义为bottom = error "Infinite loop."。

如果我们将自己限制在第一种情况 "reasonable"，我们就会得出一个重要的数学定理，即最多有一个类型为 forall a. forall b. (a -> b) -> f a -> f b 的函数 fmap满足 fmap id = id 和 fmap f . fmap g = fmap (f . g)。

如果我们不这样做，那么你是对的，我们有一种情况 fmap = undefined，另一种情况 fmap = (<*>) . pure。但这有点俗气。

Haskell：hackage Control.Applicative 文章中对应用函子法则的描述存在缺陷？：它说 Applicative determines Functor

Haskell: Flaw in the description of applicative functor laws in the hackage Control.Applicative article?: it says Applicative determines Functor

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