找到一个标量使向量加法为正

Question

我有两个向量 a=(a_1, a_2,...,a_n) 和 b=(b_1, b_2, ...,b_n)。我想找到一个标量 "s" 使得 s=max{s : a+sb >= 0}。这里的不等式是逐元素的，即 a_i+sb_i>=0 对于所有 i=[1,...,n]。如何计算这样的标量？此外，如果 s=infinity 是解，我们将通过 s=1 来约束 s。

向量 "a" 也是非负的（即每个元素 >=0）。

Answer 1

好的 a_i >= 0，我们可以看到 s=0 总是一个解决方案。一种可能的方法是解决所有组件上的不等式，然后取域的交集。它们的上限（如果是有限的，是交集的一部分）就是你想要的数字。这意味着：

是您要解决的问题。请注意，因为在第二种情况下 b_i 为负数，所以右侧的数字为正数。这意味着你得到的所有 s_i 的交集都是非空的。最大值的下限为 0，因此从技术上讲，您可以 忽略 b_i 为正的不等式 ，无论如何它们都是正确的。但是，出于完整性和说明目的：

示例： a= (1,1), b=(-0,5,1)

1 - s*0.5 >= 0 ，这意味着 s <= 2，或者 s in (-inf, 2]
1 + s*1 >= 0，即s>= -1，或[-1,inf)

交点：[-1,2] 这意味着两个方程都成立的最大值是 2.

这是最直接的方式，当然还有更优雅的方式。

编辑： 作为算法：检查 b_i 是正数还是负数。如果为正，则保存 s_i = 1（如果您希望您的值受 1 约束）。如果为负，则保存 s_i = -a_i/b_i。最后你要实际采取最低限度！

但效率更高：当b_i为正时，您实际上不需要关心。无论如何，您的最大值将大于或等于零。所以只需检查它小于 0 的情况并保留它们中的最小值 -a_i/b_i，因为那是该区域的上限。

伪代码:

s = 1
for i in range = 1 to length(b):
    if b[i]<0:
        s = min(s, -a[i]/b[i])

为什么是最小值？因为那个-a[i]/b[i]是区域的上限。

找到一个标量使向量加法为正

Find a scalar to make a vector addition positive

vector

max

linear-algebra