使用梯形法则计算二重积分 (Matlab)

Question

我有一个作业要使用梯形法则计算二重积分。第一部分是使用带极限的梯形法则计算二重积分 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1

我有一个工作脚本：

N = 100;
xh= 1.25;
x = linspace(0,2,N);
y = linspace(0,1,0.5*N);
dx = diff(x(1:2));
dy = diff(y(1:2));
[x,y] = meshgrid(x,y);
funk = exp(-10.*((x-xh).^2+y.^2)).*cos(y.*(x-xh));
funk(2:end-1,:) = funk(2:end-1,:)*2;
funk(:,2:end-1) = funk(:,2:end-1)*2;
out = sum(funk(:))*dx*dy/4;

disp(out)

现在第二部分的限制是 0 <= x <= 2, 0 <= y <= ((pi*x)/2)

如何让 y（代码中的第 4 行）从 x 矩阵中获取相应的 x 值来创建 y 矩阵？如果我让它工作，我就不必更改代码中的任何其他内容，或者我是否遗漏了什么？

Answer 1

有趣的问题。想象一个网格，其中 x 坐标跨越 0 <= x <= 2，y 坐标跨越 0 <= y <= pi。这是因为当x = 2时，则y = pi*2/2 = pi.

现在想象画一条从原点到 (x,y) = (2,pi) 的正斜率为 pi/2 的直线。您要关注的 (x,y) 值是网格的 右下角 。

为此，只需创建一个 meshgrid，其中 x 跨越 [0,2]，y 跨越 [0,pi]，然后选择右下角网格。假设一个 100 x 100 点的网格：

%// Generate grid of points
N = 100;
xx = linspace(0,2,N);
yy = linspace(0,pi,N);
[x,y] = meshgrid(xx,yy);

%// Obtain valid region
ind = y <= (pi/2)*x;

%// Show valid region in black and white
imagesc(ind);
axis xy;
colormap gray;
set(gca,'XTick',10:10:100);
set(gca,'YTick',10:10:100);
set(gca,'XTickLabel',xx(10:10:end));
set(gca,'YTickLabel',yy(10:10:end));

这是我们得到的数字：

白色区域就是我们要找的区域。 ind 包含一个 logical 矩阵，它允许我们 select 我们 meshgrid 中的哪些值我们需要 select。因此，您的代码现在就是这样：

%// Generate grid of points
N = 100;
xh = 1.25;
xx = linspace(0,2,N);
yy = linspace(0,pi,N);
[x,y] = meshgrid(xx,yy);

%// Obtain valid region
ind = y <= (pi/2)*x;

%// Perform calculations with normal grid
dx = diff(xx(1:2));
dy = diff(yy(1:2));
funk = exp(-10.*((x-xh).^2+y.^2)).*cos(y.*(x-xh));
funk(2:end-1,:) = funk(2:end-1,:)*2;
funk(:,2:end-1) = funk(:,2:end-1)*2;

%// Select out valid region coordinates
funk = funk(ind);

%// Now sum
out = sum(funk(:))*dx*dy/4;

对于 out，我得到：

>> out

out =

         0.156821355105871

使用梯形法则计算二重积分 (Matlab)

Evaluate double integral using trapezoidal rule (Matlab)

matlab

integration