在 Matlab 中以精确的奈奎斯特速率采样

Question

今天我在 matlab 中偶然发现了一个奇怪的结果。假设我有一个正弦波

f = 1;
Fs = 2*f;
t = linspace(0,1,Fs);    
x = sin(2*pi*f*t);
plot(x)

结果如图

当我设置时，

f = 100

结果如下图，

具体原因是什么？这是奈奎斯特采样定理，因此它应该正确地生成正弦。当然，当我使用 Fs >> f 时，我会得到更好的结果和非常好的正弦形状。我对自己的解释是 Matlab 在处理浮点数时遇到了困难，但我不太确定这是否属实。有人有什么建议吗？

Answer 1

在第一种情况下你只生成了 2 个样本（linspace 的第三个输入是样本数），所以很难看到任何东西。

在第二种情况下，您从时间 0 到 1（包括这两个值）生成了 200 个样本。所以采样周期为1/199，采样频率为199，略低于奈奎斯特速率。所以 存在混叠 ：您会看到频率为 100 的原始信号及其在频率 99 处的混叠。

换句话说：下面的代码重现了你的第二个数字：

t = linspace(0,1,200);
x = .5*sin(2*pi*99*t) -.5*sin(2*pi*100*t);
plot(x)

上面的.5和-.5源于一个正弦波可以分解为正负频率的两个频谱delta之和，并且这两个delta的系数相反迹象。

这两个正弦波的总和相当于调幅，即由频率为 1/2 的正弦波调制的频率为 99.5 的正弦波。由于时间跨度从 0 到 1，调制器信号（其频率为 1/2）仅完成半个周期。这就是你在第二个图中看到的。

为避免混叠，您需要将采样率提高到高于奈奎斯特率。然后，要从样本中恢复原始信号，您可以使用截止频率为 Fs/2 的理想低通滤波器。但是，在您的情况下，由于您采样低于奈奎斯特速率，因此您不会恢复频率为 100 的信号，而是它的别名频率 99.

如果您在奈奎斯特速率以上上采样，例如 Fs = 201，则可以从样本中理想地恢复原始信号。 ^† 但这需要一个近乎理想的低通滤波器，在通带和阻带之间具有 非常尖锐的 过渡。即，混叠现在的频率为 101，应该被拒绝，而所需信号的频率为 100，应该通过。

要放宽滤波器要求，您需要可以在奈奎斯特速率以上进行采样。这样，别名与信号的距离更远，并且过滤器可以更轻松地将信号与别名分开。

^{^† 这并不意味着图表看起来像您的原始信号（参见 );这仅意味着经过理想的低通滤波后它会。}

Answer 2

您的问题与奈奎斯特定理和混叠无关。这是一个简单的图形表示问题。您可以更改您的代码，使正弦频率低于奈奎斯特极限，但图形会像以前一样奇怪：

t = linspace(0,1,Fs+2);
plot(sin(2*pi*f*t));

结果：

为了说明问题我修改了你的代码：

Fs=100;
f=12;  %f << Fs
t=0:1/Fs:0.5; % step =1/Fs
t1=0:1/(10*Fs):0.5;   % step=1/(10*Fs) for precise graphic representation
subplot (2, 1, 1);
plot(t,sin(2*pi*f*t),"-b",t,sin(2*pi*f*t),"*r");
subplot (2, 1, 2);
plot(t1,sin(2*pi*f*t1),"g",t,sin(2*pi*f*t),"r*");

查看结果：

红星 - sin(2*pi*f) 的值，采样率为 Fs。
蓝线 - 连接红星的线。它是函数 plot() 的常用数据表示 - 数据点之间的线插值
绿色曲线 - sin(2*pi*f)

你的眼睛和大脑可以很容易地理解这些图形代表正弦

将频率改为更高：

f=48;   % 2*f < Fs !!!

查看蓝线和红星。现在您的眼睛和大脑不明白这些图形表示相同的正弦。但是你的 "red stars" 实际上是正弦的有效值。请参见底部图表。

最后还有频率为f=50(2*f = Fs)的正弦同图：

P.S.

Nyquist-Shannon 采样定理针对您的情况说明如果：

f < 2*Fs
您有无限个样本（我们的地块上有红色星星）

然后您可以随时重现函数值（我们图中的绿色曲线）。您必须使用 sinc 插值 来完成。

Answer 3

从 Matlab 帮助中复制：

林空间

生成线性间隔的向量语法

y = linspace(a,b)
y = linspace(a,b,n)

描述

linspace 函数生成线性间隔的向量。它类似于冒号运算符“:”，但可以直接控制点数。

y = linspace(a,b) 生成一个包含 100 个点的行向量 y，这些点在 a 和 b 之间线性间隔（包括 a 和 b）。

y = linspace(a,b,n) 生成一个包含 n 个点的行向量 y，这些点在 a 和 b 之间线性间隔，包括 a 和 b。对于 n < 2，linspace returns b。例子

创建一个由 100 个从 1 到 500 的线性间隔数字组成的向量：

A = linspace(1,500);

创建一个由 1 到 36 之间的 12 个线性间隔数字组成的向量：

A = linspace(1,36,12);

Answer 4

linspace对于奈奎斯特区间来说并不明显，所以你可以使用常见的形式：

t = 0:Ts:1;

或

t = 0:1/Fs:1;

并更改 Fs 值。

第一个图是由于'0'的近似：sin(0)和sin(2*pi)。我们可以注意到范围在 10^(-16) 级别。

Answer 5

我编写了函数 reconstruct_FFT，如果样本的输入序列是周期性的，即使对于较短的观察间隔，它也可以恢复临界采样数据。它在频域中执行低通滤波。

在 Matlab 中以精确的奈奎斯特速率采样

Sampling at exactly Nyquist rate in Matlab

matlab

signal-processing

sampling