使用端点和凸出距离绘制圆弧。在 OpenCV 或 PIL 中
Draw an arc by using end-points and bulge distance. In OpenCV or PIL
正在编写将 dxf 转换为 png 的脚本，我需要绘制只有三个参数的圆弧，即圆弧起点、圆弧终点和凸起距离。
OpenCV和PIL我都检查过了，他们需要开始和结束角度来画这个弧。我可以使用一些几何图形找出这些角度，但想知道是否还有我遗漏的其他解决方案。
您拥有定义圆弧的三个信息：圆上的两个点（定义该圆的 弦 ）和凸起距离（称为 圆弧的sagitta).
见下图：
这里s是矢形，l是半弦长，r 当然是半径。其他重要的未标记位置是弦与圆相交的点、矢状与圆相交的点和圆心，半径从这里延伸。
对于 OpenCV 的 ellipse() 函数，我们将使用以下原型：
cv2.ellipse(img, center, axes, angle, startAngle, endAngle, color[, thickness[, lineType[, shift]]]) → img
其中大部分参数如下图所示：
由于我们绘制的是圆形而不是椭圆弧，major/minor 轴将具有相同的大小并且旋转它没有区别，因此轴将只是 (radius, radius) 和 angle 应该为零以简化。那么我们需要的参数就只有圆心，半径，以及绘制的起始角和结束角，对应弦的点。角度很容易计算（它们只是圆上的一些角度）。所以最终我们需要找到圆的半径和圆心。
求半径和圆心就像求圆的方程一样，所以有很多种方法。但是由于我们在这里编程，IMO 最简单的方法是在矢状面接触圆的位置定义圆上的第三个点，然后从这三个点求解圆。
所以首先我们需要得到弦的中点，得到一条垂直于该中点的线，然后将它延伸到矢状面的长度以到达第三点，但这很容易。我将开始给定 pt1 = (x1, y1) 和 pt2 = (x2, y2) 作为我在圆上的两个点，sagitta 是 'bulge depth'（即您拥有的参数）：
# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2
# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))
if np.isclose(n_dist, 0):
# catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')
n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n
现在我们得到了圆上的第三个点。请注意，sagitta 只是一些长度，所以它可以向任一方向移动——如果 sagitta 为负，它会从弦向一个方向移动，如果它是正的，它会向另一个方向移动。不确定这是否是给你的距离。
那我们就可以简单的use determinants to solve for the radius and center。
# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
[x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
[x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
[x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])
if np.isclose(M11, 0):
# catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
print('Error: The third point is collinear.')
cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)
最后，由于我们需要起始角和结束角来使用OpenCV绘制椭圆，我们可以使用atan2()来获取从中心到初始点的角度：
# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi
所以我将这一切打包成一个函数：
def convert_arc(pt1, pt2, sagitta):
# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2
# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))
if np.isclose(n_dist, 0):
# catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')
n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n
# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
[x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
[x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
[x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])
if np.isclose(M11, 0):
# catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
print('Error: The third point is collinear.')
cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)
# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi
return (cx, cy), radius, pt1_angle, pt2_angle
使用这些值，您可以使用 OpenCV 的 ellipse() 函数绘制弧线。但是，这些都是浮点值。 ellipse() 确实允许您使用 shift 参数绘制浮点值，但如果您不熟悉它，它会有点奇怪，所以我们可以借用 this answer 的解决方案来定义函数
def draw_ellipse(
img, center, axes, angle,
startAngle, endAngle, color,
thickness=1, lineType=cv2.LINE_AA, shift=10):
# uses the shift to accurately get sub-pixel resolution for arc
# taken from
center = (
int(round(center[0] * 2**shift)),
int(round(center[1] * 2**shift))
)
axes = (
int(round(axes[0] * 2**shift)),
int(round(axes[1] * 2**shift))
)
return cv2.ellipse(
img, center, axes, angle,
startAngle, endAngle, color,
thickness, lineType, shift)
那么使用这些函数就很简单了：
img = np.zeros((500, 500), dtype=np.uint8)
pt1 = (50, 50)
pt2 = (350, 250)
sagitta = 50
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()
再次注意，负矢状给出了另一个方向的弧：
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, -sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 127)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()
最后为了扩展，我在 convert_arc() 函数中列出了两个错误案例。第一：
if np.isclose(n_dist, 0):
# catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')
这里报错是因为我们需要得到一个单位向量，所以需要除以不能为零的长度。当然，这只有在 pt1 和 pt2 是同一点时才会发生，因此您可以只在函数顶部检查它们是否唯一，而不是在此处检查。
第二个：
if np.isclose(M11, 0):
# catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
print('Error: The third point is collinear.')
这只有在三个点共线时才会发生，这只有在 sagitta 为 0 时才会发生。因此，您可以再次在函数的顶部检查它（也许会说，好的，如果它为 0，则只需从 pt1 到 pt2 画一条线或任何您想做的事情）。
正在编写将 dxf 转换为 png 的脚本，我需要绘制只有三个参数的圆弧，即圆弧起点、圆弧终点和凸起距离。
OpenCV和PIL我都检查过了，他们需要开始和结束角度来画这个弧。我可以使用一些几何图形找出这些角度，但想知道是否还有我遗漏的其他解决方案。
您拥有定义圆弧的三个信息：圆上的两个点（定义该圆的 弦 ）和凸起距离（称为 圆弧的sagitta).
见下图：
这里s是矢形，l是半弦长，r 当然是半径。其他重要的未标记位置是弦与圆相交的点、矢状与圆相交的点和圆心，半径从这里延伸。
对于 OpenCV 的 ellipse() 函数，我们将使用以下原型：
cv2.ellipse(img, center, axes, angle, startAngle, endAngle, color[, thickness[, lineType[, shift]]]) → img
其中大部分参数如下图所示：
由于我们绘制的是圆形而不是椭圆弧，major/minor 轴将具有相同的大小并且旋转它没有区别，因此轴将只是 (radius, radius) 和 angle 应该为零以简化。那么我们需要的参数就只有圆心，半径，以及绘制的起始角和结束角，对应弦的点。角度很容易计算（它们只是圆上的一些角度）。所以最终我们需要找到圆的半径和圆心。
求半径和圆心就像求圆的方程一样，所以有很多种方法。但是由于我们在这里编程，IMO 最简单的方法是在矢状面接触圆的位置定义圆上的第三个点，然后从这三个点求解圆。
所以首先我们需要得到弦的中点，得到一条垂直于该中点的线，然后将它延伸到矢状面的长度以到达第三点，但这很容易。我将开始给定 pt1 = (x1, y1) 和 pt2 = (x2, y2) 作为我在圆上的两个点，sagitta 是 'bulge depth'（即您拥有的参数）：
# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2
# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))
if np.isclose(n_dist, 0):
# catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')
n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n
现在我们得到了圆上的第三个点。请注意，sagitta 只是一些长度，所以它可以向任一方向移动——如果 sagitta 为负，它会从弦向一个方向移动，如果它是正的，它会向另一个方向移动。不确定这是否是给你的距离。
那我们就可以简单的use determinants to solve for the radius and center。
# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
[x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
[x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
[x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])
if np.isclose(M11, 0):
# catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
print('Error: The third point is collinear.')
cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)
最后，由于我们需要起始角和结束角来使用OpenCV绘制椭圆，我们可以使用atan2()来获取从中心到初始点的角度：
# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi
所以我将这一切打包成一个函数：
def convert_arc(pt1, pt2, sagitta):
# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2
# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))
if np.isclose(n_dist, 0):
# catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')
n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n
# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
[x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
[x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
[x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])
if np.isclose(M11, 0):
# catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
print('Error: The third point is collinear.')
cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)
# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi
return (cx, cy), radius, pt1_angle, pt2_angle
使用这些值，您可以使用 OpenCV 的 ellipse() 函数绘制弧线。但是，这些都是浮点值。 ellipse() 确实允许您使用 shift 参数绘制浮点值，但如果您不熟悉它，它会有点奇怪，所以我们可以借用 this answer 的解决方案来定义函数
def draw_ellipse(
img, center, axes, angle,
startAngle, endAngle, color,
thickness=1, lineType=cv2.LINE_AA, shift=10):
# uses the shift to accurately get sub-pixel resolution for arc
# taken from
center = (
int(round(center[0] * 2**shift)),
int(round(center[1] * 2**shift))
)
axes = (
int(round(axes[0] * 2**shift)),
int(round(axes[1] * 2**shift))
)
return cv2.ellipse(
img, center, axes, angle,
startAngle, endAngle, color,
thickness, lineType, shift)
那么使用这些函数就很简单了：
img = np.zeros((500, 500), dtype=np.uint8)
pt1 = (50, 50)
pt2 = (350, 250)
sagitta = 50
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()
再次注意，负矢状给出了另一个方向的弧：
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, -sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 127)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()
最后为了扩展，我在 convert_arc() 函数中列出了两个错误案例。第一：
if np.isclose(n_dist, 0):
# catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')
这里报错是因为我们需要得到一个单位向量，所以需要除以不能为零的长度。当然，这只有在 pt1 和 pt2 是同一点时才会发生，因此您可以只在函数顶部检查它们是否唯一，而不是在此处检查。
第二个：
if np.isclose(M11, 0):
# catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
print('Error: The third point is collinear.')
这只有在三个点共线时才会发生，这只有在 sagitta 为 0 时才会发生。因此，您可以再次在函数的顶部检查它（也许会说，好的，如果它为 0，则只需从 pt1 到 pt2 画一条线或任何您想做的事情）。