负二次函数是拟凸的
Is negative quadratic function quasiconvex
我在书（凸优化，博伊德）中读到
quasiconvex（或单峰）如果其 domain 及其所有子水平集
Sα = {x ∈ dom f | f(x) ≤ α}, 对于 α ∈ R, 是凸的.
且当且仅当f(x)不减或不增时，f(x)为拟凸
所以我想知道 f(x) = -x^2 + 10 是否是拟凸的，根据定义如果 α = 5，子水平集是两个不同的 (-inf, a) 和 (b, +inf)，这不是凸集。但是根据第二条规则，f(x) 不是单调的，这使得它是拟凸的。我哪里弄错了？
Where did I made a mistake?
这句话错误的是：
if and only if f(x) is non-decreasing or non-increasing, f(x) is quasiconvex.
暗示只有一种方式，而不是两种方式。
即单调函数肯定是拟凸函数，但也有不是单调的拟凸函数。 x2是拟凸（和凸）但显然不是单调的。
I wonder if f(x) = -x2 + 10 is quasiconvex
不是。它是凹的（和拟凹的；所有凹函数都是拟凹的）。
然而它是单峰的。单峰函数具有 属性 ，它单调增加到一个点，然后单调减少。在您的示例中，f(x) 单调递增到 f(0)，然后单调递减。
我们说这样的函数是 "unimodal" 是因为我们可以将函数的 "mode" 视为局部最大值。单峰函数有一个局部（因此是全局）最大值，没有其他局部最大值。显然所有向下开口的抛物线都是单峰的。
所有单峰函数都是拟凹函数。
总结一下。对于从实数到实数的函数，选择 曲线上的任意两点 。一些定义：
- 如果连接它们的线段总是完全在曲线上或曲线上方，则函数是凸的。
- 如果连接它们的线段总是完全在曲线上或曲线下，则函数是凹的。
- 如果两点之一总是函数在两点之间的最大值，则函数为拟凸
- 若两点之一始终为两点间函数的最小值，则函数为拟凹函数
另外：
- 如果函数单调递增到最大值后单调递减，则为单峰函数。
一些定理：
- 每个凸函数都是拟凸的。
- 每个凹函数都是拟凹函数。
- 每个单峰函数都是拟凹函数。
- 每个单调函数都是拟凸的。
- 每个单调函数都是拟凹函数。
- 每个凸函数的负数都是凹的。
- 每个凹函数的负数都是凸的。
- 每个拟凸函数的负函数都是拟凹函数。
- 每个拟凹函数的负函数都是拟凸的。
我在书（凸优化，博伊德）中读到
quasiconvex（或单峰）如果其 domain 及其所有子水平集 Sα = {x ∈ dom f | f(x) ≤ α}, 对于 α ∈ R, 是凸的.
且当且仅当f(x)不减或不增时，f(x)为拟凸
所以我想知道 f(x) = -x^2 + 10 是否是拟凸的，根据定义如果 α = 5，子水平集是两个不同的 (-inf, a) 和 (b, +inf)，这不是凸集。但是根据第二条规则，f(x) 不是单调的，这使得它是拟凸的。我哪里弄错了？
Where did I made a mistake?
这句话错误的是：
if and only if f(x) is non-decreasing or non-increasing, f(x) is quasiconvex.
暗示只有一种方式，而不是两种方式。
即单调函数肯定是拟凸函数，但也有不是单调的拟凸函数。 x2是拟凸（和凸）但显然不是单调的。
I wonder if f(x) = -x2 + 10 is quasiconvex
不是。它是凹的（和拟凹的；所有凹函数都是拟凹的）。
然而它是单峰的。单峰函数具有 属性 ，它单调增加到一个点，然后单调减少。在您的示例中，f(x) 单调递增到 f(0)，然后单调递减。
我们说这样的函数是 "unimodal" 是因为我们可以将函数的 "mode" 视为局部最大值。单峰函数有一个局部（因此是全局）最大值，没有其他局部最大值。显然所有向下开口的抛物线都是单峰的。
所有单峰函数都是拟凹函数。
总结一下。对于从实数到实数的函数，选择 曲线上的任意两点 。一些定义：
- 如果连接它们的线段总是完全在曲线上或曲线上方，则函数是凸的。
- 如果连接它们的线段总是完全在曲线上或曲线下，则函数是凹的。
- 如果两点之一总是函数在两点之间的最大值，则函数为拟凸
- 若两点之一始终为两点间函数的最小值，则函数为拟凹函数
另外：
- 如果函数单调递增到最大值后单调递减，则为单峰函数。
一些定理：
- 每个凸函数都是拟凸的。
- 每个凹函数都是拟凹函数。
- 每个单峰函数都是拟凹函数。
- 每个单调函数都是拟凸的。
- 每个单调函数都是拟凹函数。
- 每个凸函数的负数都是凹的。
- 每个凹函数的负数都是凸的。
- 每个拟凸函数的负函数都是拟凹函数。
- 每个拟凹函数的负函数都是拟凸的。