解决矩阵而不是向量的二次规划

Question

我正在研究二次规划问题。

所以我得到了两个矩阵 A 和 B（实际上是时间序列），我想找到矩阵 X，s.t。 A*X最接近B，条件是X包含所有正值。（所以X可以看作是一个权重矩阵）

因为是最小化问题，而且X有局限性，所以考虑用二次规划。具体来说，我的目标是通过以下方式找到 X：

min sum (A*X - B).^2,   that is:

min sum 1/2 X^t * (A^t*A) * X - (B^t*A) * X
s.t. X is positive

这个形式看起来和QP问题很相似：

1/2 x^t*Q*x + c^t*x
s.t. A*x < b

我的问题是：

My X is a matrix instead of a vector in QP.
Is there a variant of QP for this problem? Am I right to head to QP?

How to represent the limitation on X positive?

如果您能具体说明 R 函数就太好了。

非常感谢！

Answer 1

这应该是凸的并且可以直接用 QP 算法求解。我经常将其重写为：

 min sum((i,k),d^2(i,k))
 d(i,k) = sum(j, a(i,j)*x(j,k)) - b(i,k)
 x(j,k) ≥ 0, d(i,k) free

这现在显然是凸的（对角 Q 矩阵）。在某些情况下，这种形式可能比将所有内容都放在 objective 中更容易解决。从某种意义上说，我们减少了问题的非线性。您也可以使用不同的规范将其作为 LP 解决：

 min sum((i,k),abs(d(i,k)))
 d(i,k) = sum(j, a(i,j)*x(j,k)) - b(i,k)
 x(j,k) ≥ 0, d(i,k) free

或

 min sum((i,k),y(i,k))
 -y(i,k) ≤ d(i,k) ≤ y(i,k)
 d(i,k) = sum(j, a(i,j)*x(j,k)) - b(i,k)
 x(j,k) ≥ 0, y(i,k) ≥ 0, d(i,k) free

解决矩阵而不是向量的二次规划

solve quadratic programming for matrix instead of vectors

optimization

matrix

linear-algebra

minimization

quadratic-programming