如何在 Sagemath 中递归实现切比雪夫多项式？

Question

我找到了 Wikipedia 一个公式来计算 第一类切比雪夫多项式 以递归方式：

T₀(x) = 1
T₁(x) = x
Tₙ(x) = (Tₙ₊₁(x) + Tₙ₋₁(x)) / 2x

但是我实际上不确定如何在 Sagemath 中实现它。

def T(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    else:
        t = (T(n+1) + T(n-1)) / (2*x)
    return t

当 n 为 2 或更大时，我总是得到一个 RuntimeError，这意味着我的递归永远不会停止。我理解递归的原理和与迭代过程的区别，但我有点卡在这里。

预期输出为：

sage: T(0)
1
sage: T(1)
x
sage: T(2)
2x^2 - 1
sage: T(3)
4x^3 - 3x
sage: # and so on

Answer 1

您对规则的解释有误。无需求解 T(n)。假设n = n + 1，最后的递归关系变为：T(n) = 2xT(n-1) - T(n-2)。所以你的递归函数变成：

def T(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * T(n-1) - T(n-2)

给出了想要的结果。

示例：

T(2) = 2x * T(1) - T(0)

但是 T(1) = x 和 T(0) = 1，所以：

T(2) = 2x * x - 1
T(2) = 2x^2 - 1

Answer 2

需要说明的是，Chebyshev polynomials 和各种朋友都在 SageMath 中实现了。

How to implement recursively the Chebyshev polynomials in Sagemath?