内存高效的稀疏对称矩阵计算

Question

我必须执行大量此类计算：

X.dot(Y).dot(Xt)

X = 1 x n 矩阵

Y = 对称 n x n 矩阵，每个元素为 5 个值之一（例如 0、0.25、0.5、0.75、1）

Xt = n x 1矩阵，X的转置，即X[np.newaxis].T

X 和 Y 是密集的。我遇到的问题是对于大 n，由于内存问题，我无法存储和使用矩阵 Y。我仅限于使用一台机器，所以分布式计算不是一种选择。

我想到 Y 有 2 个特征，理论上可以减少存储 Y 所需的内存量：

Y 的元素包含在一小列值中。
Y 是对称的。

如何在实践中实施？我已经查找了对称矩阵的存储，但据我所知，所有 numpy 矩阵乘法都需要 "unpacking" 对称性来产生一个规则的 n x n 矩阵。

我知道 numpy 是为内存计算而设计的，所以我愿意接受不依赖于 numpy 的基于 python 的替代解决方案。我也愿意为了内存效率而牺牲速度。

Answer 1

更新：我发现使用一种将 3 个矩阵元素塞入一个字节的格式实际上非常快。在下面的示例中，与使用 @ 的直接乘法相比，速度损失小于 2x，而节省的 space 大于 20x。

>>> Y = np.random.randint(0, 5, (3000, 3000), dtype = np.int8)
>>> i, j = np.triu_indices(3000, 1)
>>> Y[i, j] = Y[j, i]
>>> values = np.array([0.3, 0.5, 0.6, 0.9, 2.0])
>>> Ycmp = (np.reshape(Y, (1000, 3, 3000)) * np.array([25, 5, 1], dtype=np.int8)[None, :, None]).sum(axis=1, dtype=np.int8)
>>> 
>>> full = values[Y]
>>> x @ full @ x
1972379.8153972814
>>> 
>>> vtable = values[np.transpose(np.unravel_index(np.arange(125), (5,5,5)))]
>>> np.dot(np.concatenate([(vtable * np.bincount(row, x, minlength=125)[:, None]).sum(axis=0) for row in Ycmp]), x)
1972379.8153972814
>>> 
>>> timeit('x @ full @ x', globals=globals(), number=100)
0.7130507210385986
>>> timeit('np.dot(np.concatenate([(vtable * np.bincount(row, x, minlength=125)[:, None]).sum(axis=0) for row in Ycmp]), x)', globals=globals(), number=100)
1.3755558349657804

下面的解决方案速度较慢且内存效率较低。我将它们仅供参考。

如果你能负担得起每个矩阵元素半个字节，那么你可以像这样使用 np.bincount：

>>> Y = np.random.randint(0, 5, (1000, 1000), dtype = np.int8)
>>> i, j = np.triu_indices(1000, 1)
>>> Y[i, j] = Y[j, i]
>>> values = np.array([0.3, 0.5, 0.6, 0.9, 2.0])
>>> full = values[Y]
>>> # full would correspond to your original matrix,
>>> # Y is the 'compressed' version
>>>
>>> x = np.random.random((1000,))
>>>
>>> # direct method for reference 
>>> x @ full @ x
217515.13954751115
>>> 
>>> # memory saving version
>>> np.dot([(values * np.bincount(row, x)).sum() for row in Y], x)
217515.13954751118
>>>
>>> # to save another almost 50% exploit symmetry
>>> upper = Y[i, j]
>>> diag = np.diagonal(Y)
>>> 
>>> boundaries = np.r_[0, np.cumsum(np.arange(999, 0, -1))]
>>> (values*np.bincount(diag, x*x)).sum() + 2 * np.dot([(values*np.bincount(upper[boundaries[i]:boundaries[i+1]], x[i+1:],minlength=5)).sum() for i in range(999)], x[:-1])
217515.13954751115

Answer 2

Y 的每一行，如果按照@PaulPanzer 的回答中的建议表示为数据类型 int 的 numpy.array，则可以压缩以占用更少的内存：事实上，您可以用 64 位存储 27 个元素，因为 64 / log2(5) = 27.56...

首先，压缩：

import numpy as np

row = np.random.randint(5, size=100)

# pad with zeros to length that is multiple of 27
if len(row)%27:
    row_pad = np.append(row, np.zeros(27 - len(row)%27, dtype=int))
else:
    row_pad = row

row_compr = []
y_compr = 0
for i, y in enumerate(row_pad):
    if i > 0 and i % 27 == 0:
        row_compr.append(y_compr)
        y_compr = 0
    y_compr *= 5
    y_compr += y

# append last 
row_compr.append(y_compr)
row_compr = np.array(row_compr, dtype=np.int64)

然后，解压：

row_decompr = []
for y_compr in row_compr:
    y_block = np.zeros(shape=27, dtype=np.uint8)
    for i in range(27):
        y_block[26-i] = y_compr % 5
        y_compr = int(y_compr // 5)
    row_decompr.append(y_block)

row_decompr = np.array(row_decompr).flatten()[:len(row)]

解压后的数组与Y的原始行重合：

assert np.allclose(row, row_decompr)

内存高效的稀疏对称矩阵计算

Memory-efficient sparse symmetric matrix calculations

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numpy

matrix

sparse-matrix