什么是 eq_rect 以及它在 Coq 中的何处定义？

Question

据我所读，eq_rect 和平等似乎有着深刻的联系。奇怪的是，我无法在手册中找到它的定义。

它从何而来，说明了什么？

Answer 1

如果您使用 Locate eq_rect，您会发现 eq_rect 位于 Coq.Init.Logic，但如果您查看该文件，则其中没有 eq_rect。那么，这是怎么回事？

当你定义归纳类型时，Coq 在很多情况下 自动为你生成 3 个归纳原理，附加 _rect、_rec、_ind 到类型的名称。

要理解 eq_rect 的含义，您需要它的类型，

Check eq_rect.

我们开始：

eq_rect
     : forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Type),
       P x -> forall y : A, x = y -> P y

你需要理解Leibniz's equality的概念：

Leibniz characterized the notion of equality as follows: Given any x and y, x = y if and only if, given any predicate P, P(x) if and only if P(y).

In this law, "P(x) if and only if P(y)" can be weakened to "P(x) if P(y)"; the modified law is equivalent to the original, since a statement that applies to "any x and y" applies just as well to "any y and x".

不那么正式地说，上面的引文说，如果 x 和 y 相等，则它们的每个谓词的 "behavior" 都是相同的。

为了更清楚地看到莱布尼茨等式直接对应于 eq_rect 我们可以将 eq_rect 的参数顺序重新排列为以下等价公式：

eq_rect_reorder
     : forall (A : Type) (P : A -> Type) (x y : A), 
         x = y -> P x -> P y

什么是 eq_rect 以及它在 Coq 中的何处定义？

What is eq_rect and where is it defined in Coq?

equality

coq