是否存在一种类型理论，其中可以表示相同形状的归纳数据类型的等价性？

Question

假设我有两个归纳定义的数据类型：

Inductive list1 (A : Type) : Type :=
 | nil1 : list1 A
 | cons1 : A -> list1 A -> list1 A.

和

Inductive list2 (A : Type) : Type :=
 | nil2 : list2 A
 | cons2 : A -> list2 A -> list2 A.

对于任何 P (list1 a) 我应该能够构造一个 P (list2 a)，通过应用我用来构造 P (list1 a) 的完全相同的方法，除了将 nil1 替换为 nil2、list1 与 list2 和 cons1 与 cons2。类似地，任何将 list1 a 作为参数的函数都可以扩展为采用 list2 a.

是否有类型系统允许我以这种方式谈论具有相同形状（具有相同形状的构造函数）的两种数据类型，并证明 P (list1 a) -> P (list2 a)？例如，这是单价、HOTT 或 cubical/observational 类型系统允许的吗？它还可能允许定义像 reverse: list_like a -> list_like a 这样接受 list1s 和 list2s 作为参数的函数。

Answer 1

在单价的HoTT中，确实可以证明list1 A对所有A等于list2 A。给出证明 p : list1 A = list2 A，运输（或 subst）为任何 P 提供 P (list1 A) -> P (list2 A)。在立方类型理论中，这种传输也可以按预期计算。据我所知，立方类型理论（CCHM or cartesian) is the only setting where this currently works. cubicaltt 是最有用（但仍然不是很实用）的实现。