超级简单示例的 Python Numpy 特征向量值不正确

Question

我正在尝试学习如何使用 numpy 在一个简单示例中确定特征向量和值，但结果看起来不正确。这是我的代码：

import numpy as np
import numpy.linalg as la

# create the matrix
matrix = np.array([[-2, 1, 0], [1, -2, 1], [0, 1, -2]])
print("Matrix:\n", matrix)

# calculate the eigenvalues and vectors
vals, vecs = np.linalg.eigh(matrix)

# print the eigenvalues and vectores
print("vals:\n", vals)
print("vecs:\n", vecs)

# get the eigenvectors
v1 = vecs[:,0]
v2 = vecs[:,1]
v3 = vecs[:,2]

print("v1:", v1)
print("v2:", v2)
print("v3:", v3)

# compute dot
dot1 = np.dot(matrix, v1)
dot2 = np.dot(matrix, v2)
dot3 = np.dot(matrix, v3)

# is the dot collinear to the eigenvectors?
print("dot1 / v1", dot1 / v1)
print("dot2 / v2", dot2 / v2)
print("dot3 / v3", dot3 / v3)

这是输出：

Matrix:
 [[-2  1  0]
 [ 1 -2  1]
 [ 0  1 -2]]
vals:
 [-3.41421356 -2.         -0.58578644]
vecs:
 [[  5.00000000e-01  -7.07106781e-01  -5.00000000e-01]
 [ -7.07106781e-01   4.88509860e-17  -7.07106781e-01]
 [  5.00000000e-01   7.07106781e-01  -5.00000000e-01]]
v1: [ 0.5        -0.70710678  0.5       ]
v2: [ -7.07106781e-01   4.88509860e-17   7.07106781e-01]
v3: [-0.5        -0.70710678 -0.5       ]
dot1 / v1 [-3.41421356 -3.41421356 -3.41421356]
dot2 / v2 [-2.         -4.54534541 -2.        ]
dot3 / v3 [-0.58578644 -0.58578644 -0.58578644]

当我使用在线计算器 (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/engl_eigenwert2.htm) 计算特征向量时，我得到：实特征值：{ -3.414213562373095 ; -2 ; -0.585786437626905}

特征向量：

对于特征值 -3.414213562373095： [ 1 ; -1.4142135623730954； 1 ]

对于特征值 -2： [ -1 ; 0; 1 ]

对于特征值 -0.585786437626905： [ 1 ; 1.4142135623730954； 1 ]

特征值匹配但特征向量不匹配。

问题： 1. numpy 是否缩放特征向量？

如何证明（矩阵点特征向量）与特征向量共线以证明我有正确的特征向量。我在想用特征向量除以点积会显示一个恒定的偏移量，但特征向量 2 不会发生这种情况。也就是说，当我将 numpy 与在线计算器进行比较时，特征向量 2 对我来说并不正确。这是显示共线性的正确方法吗？

Answer 1

Numpy 正在正确计算 eigenvectors/values。您可以通过运行（问题 2 的答案）进行检查：

print(np.dot(vecs,np.dot(np.diag(vals),vecs.T)) - matrix)
print(np.dot(vecs,vecs.T))

第一个输出告诉您特征值分解与矩阵的近似程度。第二个输出显示特征向量是正交的。这两个条件满足特征值分解的constraints/objective。

问题 1：是的，numpy 将特征向量的长度归一化为 1。

lengths = [print(la.norm(vecs[:,i])) for i in range(3)]

注意：您还可以通过计算它们的点积来确认两种方法的特征向量是等价的：

print(np.dot(vecs[:,0],[ -1, 0, 1 ]))

为零，而

np.dot(vecs[:,0],[ 1, -1.4142135623730954, 1 ])

是2，是两个向量长度的乘积。

Answer 2

documentation for numpy.linalg.eig 声明它 returns

The normalized (unit “length”) eigenvectors

所以是的，向量被归一化了。

特征值 2 的特征向量的值非常接近于零。如果您认为它为零，则答案是正确的，并且与您以其他方式获得的特征向量共线。

检查两个 3D 向量是否共线的一种简单方法是取它们的叉积。如果生成的向量是零向量或非常接近零向量，则向量共线。

超级简单示例的 Python Numpy 特征向量值不正确

Incorrect Python Numpy Eigenvector Values for Super Simple Example

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