Matlab：对于偶实函数，FFT复数结果，IFFT实数结果

Question

我正在测试 Matlab 中 FFT 和 IFFT 函数的有效性。

我可以将这些函数的输出与一个众所周知的数学事实进行比较：偶实函数（如以 0 为中心的高斯函数）的傅里叶变换是另一个偶实函数（FFT[real,以 0 为中心的高斯] = 实数，以 0 为中心的高斯）。这个事实应该适用于 FFT 和 IFFT。

首先我制作网格：

nx = 256; % grid total pixel count
X = 500; % grid size (um)
dx = X/nx; %  grid spacing (um)
x = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*dx; % x grid (um)

df = 1/(nx*dx); % spectral grid spacing (1/um)
f = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*df; % f grid (1/um)

然后我让我的高斯：

A = 1; % magnitude (arbitrary units) 
x_fwhm = 7; % Full width at half maximum diameter (um)

x0 = x_fwhm/sqrt(2*log(2)); % 1/e^2 radius (um)
y = A*exp(-2*x.^2./(x0)^2); % Gaussian (arbitrary units)

并使用 FFT 进行傅里叶变换：

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y)));

或者，使用 IFFT：

yIFFT = fftshift(ifft(fftshift(y)));

绘制结果：

IFFT 做得很完美：yIFFT 是纯实高斯分布。然而，FFT 产生一个复数：存在非常小的虚部。这很好，因为在傅立叶变换算法中应该会出现错误，而且无论如何都可以忽略不计。令我困惑的是为什么IFFT完全没有错误？ FFT 和 IFFT 算法有很大不同吗？

*** 注意：fftshift 和 ifftshift 在这里是等价的，因为我的数组有偶数个元素。

Answer 1

实值时域信号的处理相当普遍。如此之多以至于 ifft function 具有针对频域中出现的相应对称性的内置处理，如文档的 "Algorithm" 部分所述：

The ifft function tests whether the vectors in Y are conjugate symmetric. A vector v is conjugate symmetric when the i^th element satisfies v(i) = conj(v([1,end:-1:2])). If the vectors in Y are conjugate symmetric, then the inverse transform computation is faster and the output is real.

换句话说，ifft 将 yIFFT 的虚部构造为恰好为 0，因为它检测到您的输入具有共轭对称性。

另一方面，即使是时域信号也相对不太常见，Mathworks 认为没有必要在 fft function 中执行类似的测试。也就是说，您仍然可以通过使用 ifft 函数通过

计算 FFT 来利用共轭对称性测试

% compute fft(x,[],dim) using ifft:
size(x,dim) * conj(ifft(conj(x),[],dim))

Answer 2

您的代码有误：

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y)));

应该阅读

yFFT = fftshift(fft(ifftshift(y)));

ifftshift 函数将原点从中间的 bin 移动到最左边的 bin。 fftshift 将原点从最左边的 bin 移到中间。对于 ~~even-sized~~ odd-sized 数组，这两个操作相似但不完全相同。请注意，您的逆变换也遇到同样的问题，~~但没有显示 SleuthEye 所解释的错误。~~ [没关系，我想我在那里有点困惑，你的情况应该没有区别。]

此外，

linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)

最好写成

-nx/2 : nx/2-1

假设 nx 是偶数。它更短，但它可能由于计算方式的原因也有更小的数值误差（可能没有区别，但我尽量避免 linspace 当步长是1.

Matlab：对于偶实函数，FFT复数结果，IFFT实数结果

Matlab: for even real functions, FFT complex result, IFFT real result

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