使用矩阵的特征向量计算 svd * (matrix')

Question

我读到了 Singular Value Decomposition。引用维基百科：

The left-singular vectors of M are eigenvectors of MM∗.
The right-singular vectors of M are eigenvectors of M∗M.
The non-zero singular values of M (found on the diagonal entries of Σ) 
are the square roots of the non-zero eigenvalues of both M∗M and MM∗

我写了这个八度代码（控制台输出显示在这里）：

a是计算svd的矩阵。

octave:1> a = [1,3;3,1]
a =

   1   3
   3   1

octave:3> [U,S,V] = svd(a)
U =

  -0.70711  -0.70711
  -0.70711   0.70711

S =

Diagonal Matrix

   4   0
   0   2

V =

  -0.70711   0.70711
  -0.70711  -0.70711

检查 svd 是否真的有效..

octave:4> U*S*V
ans =

   3.00000  -1.00000
   1.00000  -3.00000

octave:5> U*S*V'
ans =

   1.00000   3.00000
   3.00000   1.00000

现在尝试第一原理（维基百科）风格：

octave:6> b = a*a'
b =

   10    6
    6   10

octave:7> c = a'*a
c =

   10    6
    6   10

octave:8> [E1,L1] = eig(b)
E1 =

  -0.70711   0.70711
   0.70711   0.70711

L1 =

Diagonal Matrix

    4    0
    0   16

octave:9> [E2,L2] = eig(c)
E2 =

  -0.70711   0.70711
   0.70711   0.70711

L2 =

Diagonal Matrix

    4    0
    0   16

我可以看到 b 和 c 的特征值是 a 的奇异值的平方。这很酷。但是 left-singular-vectors 和 right-singular-vectors 出错了...符号问题。

需要什么额外的步骤才能获得正确的值？

Answer 1

您已经有了正确的价值观。

特征向量被定义为乘法常数。从 their definition 可以明显看出这一点。所以在你的情况下 [-0.70711; -0.70711] 和 [0.70711; 0.70711] 是等价的。

并且在这两种情况下，[-1; 1] 特征向量对应于 sqrt(4) = 2 特征值，而 [1; 1] 特征向量对应于 sqrt(16) = 4 特征值。

使用矩阵的特征向量计算 svd * (matrix')

calculating svd using eigen-vectors of matrix * (matrix')

octave

svd

eigenvector

eigenvalue