如何在python中生成稀疏正交矩阵？
How to generate sparse orthogonal matrix in python?
如何生成随机 稀疏正交矩阵？
我知道 scipy 库中有一个稀疏矩阵，但它们通常是非正交的。可以利用 QR 分解，但它不一定保留稀疏性。
作为初步想法，您可以将矩阵划分为对角线块，用 QR 填充这些块，然后置换 rows/columns。生成的矩阵将保持正交。或者，您可以为 Q 定义一些稀疏模式，并尝试最小化 f(Q, xi) 服从 QQ^T=I ，其中 f 是一些（最好）通过随机变量增加熵的凸函数xi。不能说任何一种方法的功效，因为我还没有真正尝试过它们。
编辑：关于第二种方法的更多信息。 f 真的可以是任何函数。一种选择可能是非零元素与随机高斯向量（或任何其他随机变量）的相似性：f = ||vec(Q) - x||_2^2, x ~ N(0, sigma * I)。您可以使用任何通用的约束优化器来处理这个问题。当然，问题是并非每个模式 S 都保证具有（满秩）正交填充。如果你有记忆，L1 正则化（或平滑近似）可以鼓励密集矩阵变量中的稀疏性：g(Q) = f(Q) + P(Q) 其中 P 是任何诱导稀疏性的惩罚函数。查看 Wen & Yen (2010) "A feasible Method for Optimization with Orthogonality Constraints" 了解专门设计用于优化（稠密）正交矩阵上的一般（可微分）函数的算法，以及 Liu, Wu, So (2015) "Quadratic Optimization with Orthogonality Constraints" 了解更多理论评估几种 line/arc 二次函数搜索算法。如果内存有问题，您可以使用稀疏基础追踪单独生成每个 row/column，根据您的问题的性质，有很多算法。有关算法详细信息，请参阅 Qu、Sun 和 Wright (2015) "Finding a sparse vector in a subspace: linear sparsity using alternate directions" 和 Bian 等人 (2015) "Sparse null space basis pursuit and analysis dictionary learning for high-dimensional data analysis"，但在这两种情况下，您都必须 incorporate/replace 约束以促进与所有先前的正交性载体。
还值得注意的是，有稀疏 QR 算法 return Q 作为 sparse/structured 矩阵的乘积。如果您只关心存储 space，这可能是创建大型高效正交运算符的最简单方法。
如何生成随机 稀疏正交矩阵？
我知道 scipy 库中有一个稀疏矩阵，但它们通常是非正交的。可以利用 QR 分解，但它不一定保留稀疏性。
作为初步想法，您可以将矩阵划分为对角线块，用 QR 填充这些块，然后置换 rows/columns。生成的矩阵将保持正交。或者，您可以为 Q 定义一些稀疏模式，并尝试最小化 f(Q, xi) 服从 QQ^T=I ，其中 f 是一些（最好）通过随机变量增加熵的凸函数xi。不能说任何一种方法的功效，因为我还没有真正尝试过它们。
编辑：关于第二种方法的更多信息。 f 真的可以是任何函数。一种选择可能是非零元素与随机高斯向量（或任何其他随机变量）的相似性：f = ||vec(Q) - x||_2^2, x ~ N(0, sigma * I)。您可以使用任何通用的约束优化器来处理这个问题。当然，问题是并非每个模式 S 都保证具有（满秩）正交填充。如果你有记忆，L1 正则化（或平滑近似）可以鼓励密集矩阵变量中的稀疏性：g(Q) = f(Q) + P(Q) 其中 P 是任何诱导稀疏性的惩罚函数。查看 Wen & Yen (2010) "A feasible Method for Optimization with Orthogonality Constraints" 了解专门设计用于优化（稠密）正交矩阵上的一般（可微分）函数的算法，以及 Liu, Wu, So (2015) "Quadratic Optimization with Orthogonality Constraints" 了解更多理论评估几种 line/arc 二次函数搜索算法。如果内存有问题，您可以使用稀疏基础追踪单独生成每个 row/column，根据您的问题的性质，有很多算法。有关算法详细信息，请参阅 Qu、Sun 和 Wright (2015) "Finding a sparse vector in a subspace: linear sparsity using alternate directions" 和 Bian 等人 (2015) "Sparse null space basis pursuit and analysis dictionary learning for high-dimensional data analysis"，但在这两种情况下，您都必须 incorporate/replace 约束以促进与所有先前的正交性载体。
还值得注意的是，有稀疏 QR 算法 return Q 作为 sparse/structured 矩阵的乘积。如果您只关心存储 space，这可能是创建大型高效正交运算符的最简单方法。