当一个向量的方向未知时，两个向量之间的交点

Question

问题：我有两个向量。我知道一个矢量的起点、它的方向、它的大小。我知道另一个向量的起点及其大小。我需要找到第二个矢量的方向以及交点的位置。

   Vector A:                        Vector B:

Position = Known                   Position = Known  
Direction= Known                   Direction= UNKNOWN
Magnitude= Known                   Magnitude= Known

To Find: Point of intersection.

是否可以根据给定的参数找到交点？如果是那么怎么办？

应用：我想根据玩家的移动速度找到他会被发现的位置，并在他被发现的那一刻向他射击，同时考虑到子弹到达虚拟目标位置所需的时间。

Answer 1

让下标1标记玩家，下标2标记AI：

初始:位置(x_i,y_i)
角度：alpha_i
速度：u_i

作为时间 t 函数的位置是：

玩家：(x_1 + u_1 * t * cos(alpha_1), y_1 + u_1 * t * sin(alpha_1))
AI的子弹：(x_2 + u_2 * t * cos(alpha_2), y_2 + u_2 * t * sin(alpha_2))

你有 2 个未知数：

t - 碰撞时间
alpha_2 - AI 应该射击的角度

当Xs 和Ys 匹配时发生碰撞。即：

x_1 + u_1 * t * cos(alpha_1) = x_2 + u_2 * t * cos(alpha_2)
y_1 + u_1 * t * sin(alpha_1) = y_2 + u_2 * t * sin(alpha_2)

所以，

alpha_2 = arcos( (x_1 + u_1 * t * cos(alpha_1) - x_2) / u_2 * t)

还有

alpha_2 = arcsin( (y_1 + u_1 * t * sin(alpha_1) - y_2) / u_1 * t)

代入您的值并将这些值等同于 alpha_2 的表达式以获得 t，然后您可以在任一表达式中代入 t 以获得角度 alpha_2。

Answer 2

根据评论，我将在这里进行一次飞跃，直接回答您的最终问题。

假设玩家在初始时间在一个点 p 并且以速度 v 行进；你的枪在位置 q 并以 s:

的速度向任意方向发射子弹

OP的长度是vΔt，Q的长度是sΔt。角度 a 由点积给出：

然后我们可以使用余弦规则来求解Δt:

写成这种形式，我们很容易看出它是一个二次方程，因此直接用Quadratic formula:

求解Δt

这里我们需要考虑几种情况：

v < s: 只需要取正根，否则我们会得到负时间。
v > s and dot(PQ, s) < 0: 子弹永远打不到玩家。
v > s和dot(PQ, s) > 0：这次取负根，因为正根是给一个向后移动的玩家（更长的时间；上图中也是这种情况）。

从上面得到 Δt 的正确值将使我们能够找到交点 o，从而找到预期的方向 d:

请注意 d 未标准化。此外，此解决方案 也适用于 3D，这与角度方法不同。

当一个向量的方向未知时，两个向量之间的交点

Point of intersection between two vectors when the direction of one vector is not known

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