C++ - 本征 FFT 用于二维图像的反卷积

Question

我正在尝试对图像 I 执行反卷积，即 n x m。用于对其进行卷积的内核是 K，它也是 n x m。现在我想通过执行反卷积找到原始图像 O。我知道我可以通过对 I 和 K 执行傅里叶变换并除法来检索图像 O ：I / K，因为在傅立叶域中卷积是一个乘积。（我从 here 那里得到了这些信息）。

我看到另一个关于如何使用 Eigen FFT 执行前向变换的 post，here。

我的正向傅立叶变换代码是：

I = 输入图像（时域）

O = 输出图像（频域）

tempFreq = 用于计算的临时矩阵（频域）

timevec1 = 浮点矢量

freqvec1、freqvec2、freqvec3 = 复向量

for (Int32 i = 0; i < I->uRowsCount; ++i)
{
    for (Int32 j = 0; j < I->uColumnsCount; ++j)
    {
        timevec1.push_back((*I)(i, j));
    }

    fft.fwd(freqvec1, timevec1);

    for (Int32 j = 0; j < I->uColumnsCount; ++j)
    {
        (tempFreq)(i, j) = freqvec1[j];
    }

    freqvec1.clear();
    timevec1.clear();
}

freqvec1.clear();
timevec1.clear();


for (Int32 j = 0; j < I->uColumnsCount; ++j)
{
    for (Int32 i = 0; i < I->uRowsCount; ++i)
    {
        freqvec2.push_back((tempFreq)(i, j));
    }

    fft.fwd(freqvec1, freqvec2);

    for (Int32 i = 0; i < I->uRowsCount; ++i)
    {
        (O)(i, j) = freqvec1[i];
    }

    freqvec2.clear();
    freqvec1.clear();
}

我的傅里叶逆变换代码是：

I = 输入图像（频域）

O = 输出图像（时域）

tempTime = 用于计算的临时矩阵（时域）

timevec1, timevec2 = 浮点矢量

freqvec1, freqvec2 = 复向量

    for (Int32 j = 0; j < O->uColumnsCount; ++j)
    {
        for (Int32 i = 0; i < O->uRowsCount; ++i)
        {
            freqvec1.push_back((I)(i, j));
        }

        fft.inv(timevec1, freqvec1);

        for (Int32 i = 0; i < O->uRowsCount; ++i)
        {
            (*tempTime)(i, j) = timevecCol[i];
        }

        freqvec1.clear();
        timevec1.clear();
    }

    freqvec1.clear();
    timevec1.clear();

    for (Int32 i = 0; i < O->uRowsCount; ++i)
    {
        for (Int32 j = 0; j < O->uColumnsCount; ++j)
        {
            freqvec2.push_back((*tempTime)(i, j));
        }

        fft.inv(timevec2, freqvec2);

        for (Int32 j = 0; j < O->uColumnsCount; ++j)
        {
            (*O)(i, j) = timevec2[j];
        }

        freqvec2.clear();
        timevec2.clear();
    }

对于反卷积，我将频域中的输入图像与频域中的内核分开：

freqDomainOutputImage = freqDomainInputImage.cwiseQuotient(freqDomainKernel);

为了获得原始图像，我对 freqDomainOutputImage 执行了逆傅立叶变换。

我得到的结果是：

我相信 FFT 将左上角镜像到另一边，但我不知道为什么？我没有使用 halfSpectrum。第二，为什么图像偏移了？如果我通过用这个替换最后一个循环将输出图像移动到中心：

(*O)((i + O->uRowsCount/2)%O->uRowsCount, (j + O->uColumnsCount/2)%O->uColumnsCount) = timevec2[j];

那么我的输出是：

（可以看到图像是从左上象限镜像的）。

最后，为什么我自己添加了没有噪点的模糊，但它似乎有噪点？

Answer 1

tempTime 需要很复杂。你似乎扔掉了那个虚构的部分，因此你得到了镜像效果。

从具有 complex-conjugate 对称性的复杂 frequency-domain 图像开始，应用一维 DFT（例如，沿行）。此转换的结果是一个复杂的图像，仅沿列具有 complex-conjugate 对称性。下一个 1D DFT 获取这些列并从中创建 real-values 信号，产生 real-valued 图像。

如果在第一步后丢弃虚部，则沿该维度删除 spatial-domain 图像的奇数部分，留下偶数（对称）图像。这就是您在结果中看到这种对称性的原因。

这样想：逆DFT反转了DFT的过程。如果 DFT 为 real->complex->complex，则逆必须为 complex->complex->real。中间图像具有空间和频率维度。频率分量总是需要很复杂。

您已经知道您需要交换象限。这是因为DFT在空间域和频域都以left-most像素为原点。因此，您的 spatial-domain 卷积核的原点必须位于 top-left 角，所有这些才能正常工作。

最后，您想知道噪音。这是由数值不稳定引起的。图像的某些频率分量只是具有非常小的值。对于 low-pass 过滤图像尤其如此。在那里你将非常小的值除以其他非常小的值，产生无意义。

反卷积在实践中总是需要正则化。维纳滤波器是向反卷积添加正则化的最简单方法。有关详细信息，请参阅。

C++ - 本征 FFT 用于二维图像的反卷积

C++ - Eigen FFT use for Deconvolution of 2 dimensional image

fft

convolution

eigen

eigen3

deconvolution