卡丹的扭曲

Question

问题：
给定两个数组 A 和 B，大小均为 n，找到使 V = sum(A[i:j]) - min(B[i:j]) 的值最大化的区间 [i,j] (0 <= i,j <= n-1)。

没有数组 B 扭曲，这个问题只是最大子数组和问题，可以用 Kadane 算法在 O(N) 中解决。现在，我们有了第二个数组，我们 select 范围中的最小元素，并从总和中减去它。

Example:  
 A = [-5, 2, 3, 4, 5]  
 B = [-5, 1, 2, 0, -5]  

Solution: 19   
i=1 to j=4  
2+3+4+5 - (-5) = 19

一个简单的算法是做一个双循环来计算每个 (i,j) 间隔，但这种天真的方法具有 O(N^2) 时间复杂度。

我一直在努力寻找一个 O(N)，或者至少是一个 O(NlogN) 算法，但我还没有能够实现它。

如果有任何想法，我将不胜感激，谢谢！

编辑： Peter的解决方案实现供参考：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<climits>

using namespace std;

int kadane_modified(vector<int>& A, vector<int>& B){
    if(A.empty() || B.empty()) return 0;

    int size = A.size();

    // Backward Kadane's
    vector<int> R(size);
    int max_so_far = INT_MIN, max_starting_here = 0;

    for (int i = size-1; i >= 0; i--)
    {
        max_starting_here = max_starting_here + A[i];
        if (max_so_far < max_starting_here)
            max_so_far = max_starting_here;

        if (max_starting_here < 0)
            max_starting_here = 0;

        R[i] = max_starting_here;
    }

    // Forward Kadane's
    vector<int> F(size);
    max_so_far = INT_MIN; int max_ending_here = 0;

    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        max_ending_here = max_ending_here + A[i];
        if (max_so_far < max_ending_here)
            max_so_far = max_ending_here;

        if (max_ending_here < 0)
            max_ending_here = 0;

        F[i] = max_ending_here;
    }

    // DP that combines previous results
    vector<int> V(size);
    for(int k = 0; k < size; k++){
        if(k < size-1 & k > 0)
            V[k] = A[k] + R[k+1] - B[k] + F[k-1];
        else if(k == 0)
            V[k] = A[k] - B[k] + R[k+1];
        else if(k == size-1)
            V[k] = A[k] - B[k] + F[k-1];
    }

    // The maximum V is our answer
    int solution = INT_MIN;
    for(int i = 0; i < size; i++){
        if(solution < V[i]) solution = V[i];
    }

    return solution;
}

int main()
{
    vector<int> A = {-5, 2, 3, 4, 5};
    vector<int> B = {-5, 1, 2, 0, -5};

    int solution = kadane_modified(A, B);
    cout << solution << endl;

    return 0;
}

输出：

Answer 1

Kadane 的算法计算在每个位置结束的 A 的最大总和（称为 F[i]）。

你也可以运行 Kadane 的算法在反转数组 A 上找到从每个位置开始的 A 的最大总和（称为 R[i]）。

然后我们可以使用这两个数组来计算每个位置 k 的最大子数组和 A[i:j]-B[k]，其中 i<=k<=j（通过简单地计算 F[k-1 ] + A[k] + R[k+1] - 每个 k 的 B[k]).

这就解决了"Find interval i:j which satisfies i<=k<=j and that maximizes A[i:j] - B[k]"稍有不同的问题。然而，这取的最高值将与选择 B[k] 为 B[i:j] 的最小值相同，因此这等同于您的原始问题。

这种方法的复杂度是 O(n)。

卡丹的扭曲

Kadane's with a twist

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