如何准确拟合旋转双曲线？

Question

我的实验数据点看起来像一条条双曲线。下面我提供了一个代码（Matlab），它生成“虚拟”数据，与原始数据非常相似：

function [x_out,y_out,alpha1,alpha2,ecK,offsetX,offsetY,branchDirection] = dummyGenerator(mu_alpha)
    alpha_range=0.1;
    numberPoint2Return=100; % number of points to return
    ecK=10.^((rand(1)-0.5)*2*2); % eccentricity-related parameter
    % slope of the first asimptote (radians)
    alpha1 = ((rand(1)-0.5)*alpha_range+mu_alpha); 
    % slope of the first asimptote (radians)
    alpha2 = -((rand(1)-0.5)*alpha_range+mu_alpha); 
    
    beta = pi-abs(alpha1-alpha2); % angle between asimptotes (radians)

    branchDirection = datasample([0,1],1); % where branch directed 
                                           % up: branchDirection==0; 
                                           % down: branchDirection==1;
    % generate branch
    x = logspace(-3,2,numberPoint2Return*100)'; %over sampling
    y = (tan(pi/2-beta)*x+ecK./x);
    % rotate branch using branchDirection
    theta = -(pi/2-alpha1)-pi*branchDirection;
    % get rotation matrix
    rotM = [ cos(theta),  -sin(theta);
             sin(theta),  cos(theta) ];
    % get rotated coordinates       
    XY1=[x,y]*rotM;
    x1=XY1(:,1); y1=XY1(:,2);
    % remove possible Inf
    x1(~isfinite(y1))=[];
    y1(~isfinite(y1))=[];
    % add noise
    y1=((rand(numel(y1),1)-0.5)+y1);
    % downsampling
    %x_out=linspace(min(x1),max(x1),numberPoint2Return)';
    x_out=linspace(-10,10,numberPoint2Return)';
    y_out=interp1(x1,y1,x_out,'nearest');

    % randomize offset
    offsetX=(rand(1)-0.5)*50;
    offsetY=(rand(1)-0.5)*50;
    x_out=x_out+offsetX;
    y_out=y_out+offsetY;

end

典型结果如图所示：

数据有以下重要属性：两条渐近线的斜率来自相同的分布（只是符号不同），所以对于我的拟合，我对 mu_alpha.[=16 的估计相当不错=]

现在开始有问题的部分。我尝试拟合这些数据点。我的方法的主要思想是找到一个旋转以获得 y=k*x+b/x 形状，然后正好适合它。

我使用以下代码：

function Rsquare = fitFunction(x,y,alpha1,alpha2,ecK,offsetX,offsetY)
    R=[];
    for branchDirection=[0 1]
    
        % translate back
    xt=x-offsetX;
    yt=y-offsetY;
    % rotate back
    theta = (pi/2-alpha1)+pi*branchDirection;
    rotM = [ cos(theta),  -sin(theta);
             sin(theta),  cos(theta) ];
    XY1=[xt,yt]*rotM;
    x1=XY1(:,1); y1=XY1(:,2);
    % get fitted values
    beta = pi-abs(alpha1-alpha2);
    %xf = logspace(-3,2,10^3)';
    y1=y1(x1>0);
    x1=x1(x1>0);
    %x1=x1-min(x1);
    xf=sort(x1);
    yf=(tan(pi/2-beta)*xf+ecK./xf);
    R(end+1)=sum((xf-x1).^2+(yf-y1).^2);
        
        
    end
Rsquare=min(R);
end

不幸的是，这段代码效果不佳，我经常得到不好的结果，即使我使用已知的（来自模拟的）初始参数也是如此。

你能帮我找到一个好的解决方案吗？

更新：

我找到了解决方案（参见答案），但是 我还有一个小问题——我对a参数的估计是错误的，有时因为这个原因我没有很好的拟合。

你能提出一些如何从实验点估计 a 的想法吗？

Answer 1

我找到了主要问题（通常是我的大脑）！我不知道双曲线的一般方程。所以我的双曲线方程是：

((x-x0)/a).^2-((y-y0)/b).^2=-1

所以，我们可能不关心符号，那么我可能会使用以下代码：

mu_alpha=pi/6;
[x,y,alpha1,alpha2,ecK,offsetX,offsetY,branchDirection] = dummyGenerator(mu_alpha);
% hyperb=@(alpha,a,x0,y0) tan(alpha)*a*sqrt(((x-x0)/a).^2+1)+y0;
hyperb=@(x,P) tan(P(1))*P(2)*sqrt(((x-P(3))./P(2)).^2+1)+P(4);
cost =@(P) fitFunction(x,y,P);

x0=mean(x);
y0=mean(y);
a=(max(x)-min(x))./20;
P0=[mu_alpha,a,x0,y0];

[P,fval] = fminsearch(cost,P0);

hold all
plot(x,y,'-o')
plot(x,hyperb(x,P))
function Rsquare = fitFunction(x,y,P)
  %x=sort(x);
  yf=tan(P(1))*P(2)*sqrt(((x-P(3))./P(2)).^2+1)+P(4);
  Rsquare=sum((yf-y).^2);
end

P.S。 LaTex 标签对我不起作用

如何准确拟合旋转双曲线？

How to fit rotated hyperbola accurately?

curve-fitting

hyperbolic-function

non-linear-regression

更新：