在变形中组成 f 代数的规则是什么

Question

这里有一些简单的列表 F 代数。他们使用来自 cata 的函数 recursion-schemes 图书馆。

import Data.Functor.Foldable

algFilterSmall :: ListF Int [Int] -> [Int]
algFilterSmall Nil = [] 
algFilterSmall (Cons x xs) = if x >= 10 then (x:xs) else xs

algFilterBig :: ListF Int [Int] -> [Int]
algFilterBig Nil = [] 
algFilterBig (Cons x xs) = if x < 100 then (x:xs) else xs

algDouble :: ListF Int [Int] -> [Int]
algDouble Nil = [] 
algDouble (Cons x xs) = 2*x : xs

algTripple :: ListF Int [Int] -> [Int]
algTripple Nil = [] 
algTripple (Cons x xs) = 3*x : xs

现在我组成它们：

doubleAndTripple :: [Int] -> [Int]
doubleAndTripple = cata $ algTripple . project . algDouble
-- >>> doubleAndTripple [200,300,20,30,2,3]
-- [1200,1800,120,180,12,18]

doubleAndTriple 按预期工作。两个代数都是结构保留，它们不是更改列表的长度，因此 cata 可以将两个代数应用于列表的每个项目。

下一个是过滤和加倍：

filterAndDouble :: [Int] -> [Int] 
filterAndDouble = cata $ algDouble . project . algFilterBig
-- >>> filterAndDouble [200,300,20,30,2,3]
-- [160,60,4,6]

无法正常工作。我认为这是因为 algFilterBig 不保留结构。

现在最后一个例子：

filterBoth :: [Int] -> [Int] 
filterBoth = cata $ algFilterSmall . project . algFilterBig 
-- >>> filterBoth [200,300,20,30,2,3]
-- [20,30]

这里两个代数都不是结构保留的，但这个例子是有效的。

构成 f 代数的确切规则是什么？

Answer 1

"Structure preserving algebras" 可以形式化为自然变换（可以在不同的函子之间）。

inList :: ListF a [a] -> [a]
inList Nil = []
inList (Cons a as) = a : as

ntDouble, ntTriple :: forall a. ListF Int a -> ListF Int a
algDouble = inList . ntDouble
algTriple = inList . ntTriple

然后，对于任何代数f和自然变换n，

cata (f . inList . n) = cata f . cata n

doubleAndTriple 示例是 f = algTriple 和 n = ntDouble 的一个实例。

这不容易推广到更大的类代数。

我认为 filter 的情况在没有类别的情况下更容易理解，因为 filter 是一个半群同态：filter p . filter q = filter (liftA2 (&&) p q).

我在 filter-like 代数上搜索 "distributive law" 的一般但充分条件。缩写一点afs = algFilterSmall，afb = algFilterBig。我们向后推理，找到一个充分条件：

cata (afs . project . afb) = cata afs . cata afb  -- Equation (0)

根据变质的定义，z = cata (afs . project . afb) 是这个方程（伪装的交换图）的唯一解：

z . inList = afs . project . afb . fmap z

将z代入上一个等式的RHS：

cata afs . cata afb . inList = afs . project . afb . fmap (cata afs . cata afb)
-- (1), equivalent to (0)

在 LHS 上，我们将 cata 的定义应用为 Haskell 函数，cata afb = afb . fmap (cata afb) . project，并简化为 project . inList = id;
在 RHS 上，我们应用函子定律 fmap (f . g) = fmap f . fmap g。

这产生：

cata afs . afb . fmap (cata afb) = afs . project . afb . fmap (cata afs) . fmap (cata afb)
-- (2), equivalent to (1)

我们"cosimplify"去掉最后一个因素fmap (cata afb)（记住我们是倒推）：

cata afs . afb = afs . project . afb . fmap (cata afs)  -- (3), implies (2)

这是我能想到的最简单的一个。

在变形中组成 f 代数的规则是什么

What are the rules to compose f-algebras in a catamorphism

haskell

recursion-schemes