求解线性方程组和线性不等式

Question

我必须得到线性表达式的最小和最大 y，受限于 python 中的一些线性不等式。

你可以在这里看到我输入 Desmos 的等式和不等式：

3x+12y = 1000
x > 30
x < 160
y < 60
y > 10
x + y > 180

我可以通过画出和划掉不等式来手工解决它们。但我不能在 Python 中这样做。到目前为止，我在 Python 中尝试的是在 x=0 时得到 y=83.33；当y=0时x=333.33；在获得最小和最大 x,y 之后，我然后将不等式 1 乘以 1。但是对于每个不等式，我都必须添加之前的不等式，并且还要检查 x 或 y 是否已经超过一定范围，到目前为止，它几乎是我肯定会错过一张支票。

我查看了 numpy 和 sympy，但不知道如何使用它们来解决这个问题。你能建议我如何使用以获得图片上白色箭头显示的范围吗？

Answer 1

按照评论中提供的提示，您可以使用 scipy.optimize.linprog 解决您的问题，如下所示...

In [1]: import numpy as np

In [2]: from scipy import optimize

In [3]: c = np.zeros(2)

In [4]: A_ub = np.array([[-1, -1]])

In [5]: b_ub = np.array([-180])

In [6]: A_eq = np.array([[3, 12]])

In [7]: b_eq = np.array([1000])

In [8]: bounds = [(30, 160), (10, 60)]

In [9]: optimize.linprog(c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds, method="simplex")
Out[11]: 
     fun: -0.0
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     nit: 5
   slack: array([ 31.11111111,  98.88888889,   0.        ,  41.11111111,   8.88888889])
  status: 0
 success: True
       x: array([ 128.88888889,   51.11111111])

诀窍是要注意求解方程组可以表示为具有常数零 objective 函数的优化问题。这就是我在上面设置 c=np.zeros(2) 的原因。

Answer 2

您可以尝试 cvxpy。它是凸问题的求解器，因此对于您的需求来说可能有点矫枉过正。我喜欢用它来编码你的问题是多么容易。大多数其他库要求您将问题编码为多个矩阵。

Answer 3

你的问题是线性规划中的一个问题，你的等式和不等式是限制，你想最小化（然后最大化）表达式 y。等式、不等式和表达式都是线性的，因此它是线性规划。 scipy包，使用scipy.optimize.linprog函数，可以做这种线性规划。

这里是注释代码，可以执行您想要的操作。请注意，所有不等式都略有变化以包括相等性，这对于具有最大值或最小值 y 是必要的。为了找到 y 的最大值，代码找到 -y 的最小值，然后打印它的加法逆函数，因为 linprog 最小化了 objective 函数。最后，不等式的限制一定是linprog中的"less than or equal to"，所以我把你的不等式x + y > 180两边都乘以-1得到一个，即-x + -y <= -180。有问题就问。

from scipy.optimize import linprog

# Set up values relating to both minimum and maximum values of y
coefficients_inequalities = [[-1, -1]]  # require -1*x + -1*y <= -180
constants_inequalities = [-180]
coefficients_equalities = [[3, 12]]  # require 3*x + 12*y = 1000
constants_equalities = [1000]
bounds_x = (30, 160)  # require 30 <= x <= 160
bounds_y = (10, 60)  # require 10 <= y <= 60

# Find and print the minimal value of y
coefficients_min_y = [0, 1]  # minimize 0*x + 1*y
res = linprog(coefficients_min_y,
              A_ub=coefficients_inequalities,
              b_ub=constants_inequalities,
              A_eq=coefficients_equalities,
              b_eq=constants_equalities,
              bounds=(bounds_x, bounds_y))
print('Minimum value of y =', res.fun)

# Find and print the maximal value of y = minimal value of -y
coefficients_max_y = [0, -1]  # minimize 0*x + -1*y
res = linprog(coefficients_max_y,
              A_ub=coefficients_inequalities,
              b_ub=constants_inequalities,
              A_eq=coefficients_equalities,
              b_eq=constants_equalities,
              bounds=(bounds_x, bounds_y))
print('Maximum value of y =', -res.fun)  # opposite of value of -y

该代码的打印输出是

Minimum value of y = 43.3333333333
Maximum value of y = 51.1111111111

在浮点精度内是正确的。如果你需要 x 的相应值，请参阅 res.x 的值，它是一个数组，在所需的点给出 x 和 y 的值--x 是 res.x[0] 而 y 是 res.x[1].

求解线性方程组和线性不等式

Solve a system of linear equations and linear inequalities

python

numpy

sympy

inequalities