确定具有已知法线的两个点是否相互面对（matlab）

Question

我正在尝试找到以下问题的解决方案，但不清楚如何解决。想象一下，我在 space 中有以下几点，如下图所示：

如果我认为我唯一已知的信息是点位置及其法线，我想确定两个点（考虑第一个点的位置作为参考）是否相互面对。例如，从上图中的点 a、b、c、d 和 e 我有：

点 a 面对点 c 和 e 但不面对点 b 和 d.

点 b 面对点 d 和 e 但不面对点 a 和 c.

点 c 面向点 a 但不面向点 b、d 和 e.

点 d 面对点 b 和 e 但不是点 a 和 c.

最后

点 e 面对点 a、b 和 d 但不是点 c.

我的第一个想法是通过使用建议的解决方案 here 来处理每对的两个法向量之间的符号角，但这对某些对有效，而对其他对无效。关于两点彼此面对的想法是，如果我们将一个点视为原点，那么如果另一个点在原点的 180 度视野内并且其法向量向内（有点 "towards")原点。

任何有帮助的想法。

谢谢。

更新：

尝试更清楚一点并回答下面的一些评论。原则上它在 space 中的点对应于人脸的质心。但是，我事先没有这些信息（即每个点对应于面的中心，或面及其顶点的列表）。所以在更高的层次上，如果我们正在处理面孔，问题将是如何确定两张面孔是否彼此可见，但正如我所说，我现在拥有的唯一信息是 [=78= 中的实际点] 和他们的法线。

样本点：

a = [26415.3720833199 11986.0504166605 739];
na = [0 0 1];

b = [27263.8100000023 11103.1983333336 1512.50000000021];
nb = [0.102791963903622 -0.994702876318771 0];

c = [28059.5700000001 11185.4316666667 962.499999999998];
nc = [-0.102791963903623 0.994702876318771 -9.06557542353252e-16];

d = [26606.7112499615 10390.7487916521 739];
nd = [0 0 1];

e = [27792.4499999996 9225.36499999984 2782];
ne = [0 0 -1];

Answer 1

你可以用一些简单的方法解决你的问题dot products...

根据您的描述，如果 a 的法线之间的夹角（即 na) 并且从 a 到 b 的矢量小于或等于 90 度。如所述 here, the angle can be found by taking the dot product of b-a and na, dividing by the length of b-a (and assuming the length of na is already 1), and taking the inverse cosine of the result. Putting it into an anonymous function，您有：

isInFOV = @(b, a, na) (acosd(dot(b-a, na)./norm(b-a)) <= 90);

然后您可以将一个点 b 定义为 "pointing toward" 另一个点 a 如果 nb 的分量（b 的法线）运行沿着从 b 到 a 的向量是正的。如所述 here, the component can be found by taking the dot product of a-b and nb and dividing by the length of a-b (and assuming the length of nb is already 1). Putting it into an anonymous function，您有：

isPointingToward = @(b, nb, a) (dot(a-b, nb)./norm(a-b) > 0);

然后我们可以定义一个点 a 是否是 "facing" 另一个点 b 为：

isFacing = @(a, na, b, nb) (isInFOV(b, a, na) && isPointingToward(b, nb, a));

请注意，我使用了 logical short circuit AND operator &&，因为如果 isInFOV 已经计算为 false，则不需要计算 isPointingToward。

矢量化

您可以使用 bsxfun or replacing a call to dot 等带有标准矩阵运算的函数重新表述上述方程式以向量化运算。这将允许您检查给定点朝向集合中的哪些点。下面给出了函数 isFacing 的矢量化版本：

function index = isFacing(a, na, b, nb)

  V = bsxfun(@minus, b, a);                     % Compute b-a for all b
  V = bsxfun(@rdivide, V, sqrt(sum(V.^2, 2)));  % Normalize each row
  index = (acosd(V*na.') <= 90);                % Find points in FOV of a
  index(index) = (sum(V(index, :).*nb(index, :), 2) < 0);  % Of those points in FOV,
                                                           %   find those pointing
                                                           %   towards a

end

例子

使用问题中的示例数据：

pointMat = [26415.3720833199 11986.0504166605 739; ...               % Point a
            27263.8100000023 11103.1983333336 1512.50000000021; ...  % Point b
            28059.5700000001 11185.4316666667 962.499999999998; ...  % Point c
            26606.7112499615 10390.7487916521 739];                  % Point d
normalMat = [0 0 1; ...
             0.102791963903622 -0.994702876318771 0; ...
             -0.102791963903623 0.994702876318771 -9.06557542353252e-16; ...
             0 0 1];
p = [27792.4499999996 9225.36499999984 2782];  % Point e
np = [0 0 -1];

>> isFacing(p, np, pointMat, normalMat)

ans =

  4×1 logical array

   1    % Facing a
   1    % Facing b
   0    % Not facing c
   1    % Facing d

确定具有已知法线的两个点是否相互面对（matlab）

determine whether two points with known normals are facing each other or not (matlab)

matlab

space

points

normals

矢量化

例子