从通用平面获取轴对齐坐标

Question

标题可能有误，因为我的数学知识不够用一个小句子来实际描述我的问题。

我有一个 3D 矢量闭环，我将其称为“3D 多边形”。
我需要对其执行仅二维操作，这将 return 我不同的二维点集
我需要将那些新的 2D 点转换回 3D。

我目前的尝试如下：

得到一架 'best fit' 飞机，使制作“3D”的机会最小化多边形在转换为 2D 时自相交。
通过平移平面法线得到两个垂直平面坐标
对于每个 3D 点，获取到平面的距离以获得 'axis aligned coordinates'
将 Y 坐标保存在单独的变量中以备后用，使用 X 和 Z 进行二维操作
执行二维操作
获取新的二维点，并取最近的3个原始点的加权平均值来假设新的二维点的高度
将 'axis aligned coordinates' + 假设的高度乘以各个平面法线 return 2D 指向 3D space.

问题是，这不起作用，罪魁祸首似乎是我得到 'axis aligned coordinates' 的部分，因为立即将它们还原会给出错误的结果

    public static List<Vector2> Planify3Dto2DPoints2(Vector3[] points, Vector3 centroid, Plane ply, out Vector3[] oldHeights) {
        var pz = ply.normal.z;
        var px = ply.normal.x;
        var py = ply.normal.y;
        Plane plx = new Plane(new Vector3(pz, px, py), 0);
        Plane plz = new Plane(new Vector3(py, pz, px), 0);
        oldHeights = new Vector3[points.Length];
        List<Vector2> m_points = new List<Vector2>();
        int i = 0;
        foreach (Vector3 v3 in points) {
            Vector3 v4 = v3 - centroid;
            float x = plx.GetDistanceToPoint(v4);//this part is wrong, attempting to get the v4 
            float z = plz.GetDistanceToPoint(v4);//vector back from the x, z, y coordinates is not 
            float y = ply.GetDistanceToPoint(v4);//working. removing x * plx.Normal from v4 before
            m_points.Add(new Vector2(x, z));// extracting the z coordinate reduces the error, but does not remove it
            oldHeights[i++] = new Vector3(x, z, y);
        }
        return m_points;
    }

    public static List<Vector3> Spacefy2Dto3DPoints(Vector2[] points, Vector3 centroid, Plane ply, Vector3[] oldHeights = null) {
        List<Vector3> m_points = new List<Vector3>();
        var pn = new Vector3(ply.normal.x, ply.normal.y, ply.normal.z);
        for (int i = 0; i < points.Length; i++) {
            Vector3 mp = MoveInPlane(ply, points[i]);
            if (oldHeights != null) {
                mp += pn * oldHeights[i].z;//AverageOf3ClosestHeight(points[i], oldHeights); not needed yet, but working fine, it's weighted average
            }
            mp += centroid;
            m_points.Add(mp);
        }
        return m_points;
    }

    private static Vector3 MoveInPlane(Plane plane, Vector2 vector2) {
        var z = plane.normal.z;
        var x = plane.normal.x;
        var y = plane.normal.y;
        return new Vector3(z, x, y) * vector2.x + new Vector3(y, z, x) * vector2.y;
    }

Answer 1

问题出在这一步：

Get the two perpendicular planes by shifting the plane normal's coordinates

这不给出垂直平面。

由于一个简单的具体示例，您可能错误地认为这会起作用，例如(1, 0, 0) => (0, 1, 0) & (0, 0, 1)，或者说围绕坐标的切换有效地切换了坐标轴的作用，相当于旋转了90度。但是尝试使用例如(1, 1, 0) 你马上就会发现这是行不通的。

一种方法是这样的：

取法线P的dot-product带X轴（任意选择）
如果这接近于 1 或 -1（设置一个阈值，例如 abs(dot(X, P)) > 0.5），则设置一个矢量变量 Q <- Z 轴（再次，任意）。否则，设置 Q <- X.
因此，两个垂直平面的法线由 U = P ^ Q 和 V = P ^ U 给出。注意它们没有归一化，{U, V, P}给出一组right-handed轴。

您可以进行的另一个小优化是将 - centeroid 并入平面方程本身，以避免必须对每个点明确地这样做。

Vector3 Q = (Math.Abs(ply.normal.x) > 0.5) ? new Vector3D(0.0, 1.0, 0.0)
                                           : new Vector3D(1.0, 0.0, 0.0);
Vector3 U = Vector3.Normalize(Vector3.CrossProduct(ply.normal, Q));
Vector3 V = Vector3.CrossProduct(ply.normal, U);
// no need to normalize V because U and P are already orthonormal

Plane plx = new Plane(U, Vector3.DotProduct(U, centeroid));
Plane plz = new Plane(V, Vector3.DotProduct(V, centeroid));

// ...

foreach (Vector3 v3 in points) {
    /* Vector3 v4 = v3 - centroid; // erase this line */
    float x = plx.GetDistanceToPoint(v3); // v4 -> v3 for all code following

从通用平面获取轴对齐坐标

Getting axis aligned coordinates from generic plane

c#

math

unity3d

plane