当我试图获得各种隐式方程时，高斯消去函数失败

Question

目标：我想做的是得到一个变量的隐式方程，它由一个点及其生成向量给出。好吧，你知道的，你必须对这些生成向量的矩阵进行高斯消元，其中有一列变量（x1，...，xn）减去点。顺便说一下，我正在使用 sympy。

所以，我实现了一个漂亮的高斯消去函数，它非常适合普通矩阵（我的意思是，只有数字，没有 X）：

def gauss(matrix):
rows,columns = matrix.shape
n = min(rows,columns)
a = matrix[:,:]
for i in range(n-1):
    k = i
    for j in range(i + 1, rows):
        if abs(a[j,i]) > abs(a[k,i]):
            k = j

    if k != i:
        a[i,:], a[k,:] = a[k,:], a[i,:]

    for j in range(i + 1 , rows):
        t = a[j,i]/a[i,i]
        a[j,i:] -= t*a[i,i:]
return a

然后我尝试在具有 X 点的生成向量矩阵上使用此函数，如下所示：

point = sympy.Matrix([-1,-3,0,5,3])
generators = sympy.Matrix([[0,0,3,3,0],[-1,4,-3,3,-1],[1,4,-4,-5,-1],[0,8,0,5,-2]]).T
m, n = generators.shape
var_list = sympy.Matrix(variables[:m])
vars = var_list-point
M = generators.col_insert(n, vars)
gauss(M)

麻烦：在最后一行我收到这条消息：

TypeError: cannot add <class 'sympy.matrices.dense.MutableDenseMatrix'> and <class 'sympy.core.numbers.NaN'>

我认为这与 "minus point" 相关，因为当我在包含数字和一列变量的矩阵上尝试这个高斯函数时，它运行得非常好。

所以我找不到问题所在，也不理解错误。如果有人帮助我，将不胜感激。提前致谢！

Answer 1

您的 generators 矩阵是 column-deficient，它的秩小于列数。 gauss(generators)returns

Matrix([
[3, -3,   -4,    0],
[0,  6,   -1,    5],
[0,  0, 14/3, 14/3],
[0,  0,    0,    0],
[0,  0,    0,    0]])

最后一列的主元为零。这不会导致 gauss 函数出错，因为它不处理第 4 列，它是最后一列。

但是当矩阵中再添加一列时，它现在将处理第 4 列。这将导致 0/0 除法，导致 NaN，并在随后尝试将 NaN 添加到数字时出错。这是致命步骤之前矩阵的样子。

Matrix([
[3, -3,   -4,    0,                                     x2],
[0,  6,   -1,    5,                           -x2 + x3 - 5],
[0,  0, 14/3, 14/3,            x1 + 2*x2/3 - 2*x3/3 + 19/3],
[0,  0,    0,    0, x0 - 5*x1/28 - 2*x2/7 + 2*x3/7 - 27/28],
[0,  0,    0,    0,                        x1/4 + x4 - 9/4]])

对了，条件语句

    if abs(a[j,i]) > abs(a[k,i]):
        k = j

如果 a[j, i] 或 a[k, i] 包含符号，

本身会抛出错误（因为不知道不等式是否成立）。这不会发生，因为您的符号都在最后一列中。

更好的方法

因为你的多样性（仿射子空间）有 3 维并且有 5 个变量，所以它由两个隐式方程描述。你可以从生成矩阵转置的零空间得到它们的系数（假设系数是实数，否则我们需要 Hermitian 转置 .H）。这是因为隐式方程的系数来自正交补的基，这是转置零空间给出的

import sympy 
point = sympy.Matrix([-1,-3,0,5,3])
generators = sympy.Matrix([[0,0,3,3,0],[-1,4,-3,3,-1],[1,4,-4,-5,-1],[0,8,0,5,-2]]).T
m, n = generators.shape
variables = sympy.symbols('x0:{}'.format(m))
var_list = sympy.Matrix(variables)
vars = var_list-point
coeffs = generators.T.nullspace()
for c in coeffs:
    print((c.T*vars)[0])

这会打印两个等式（= 0 已理解。）

7*x0/2 - 5*x1/8 - x2 + x3 - 27/8
x1/4 + x4 - 9/4

当我试图获得各种隐式方程时，高斯消去函数失败

Gauss elimination function fails when I try to get the implicit equations of a variety

python

gaussian

matrix

sympy

typeerror

更好的方法