`plus` 中第二个参数的附加模式匹配用于 `Nat` 类型
Additional pattern matching on the second argument in `plus` for `Nat` type
我发现 Nat 的 plus 功能在 this way
中实现
total plus : (n, m : Nat) -> Nat
plus Z right = right
plus (S left) right = S (plus left right)
我想知道是否有特殊原因不对第二个参数进行模式匹配，就像这里一样：
total plus : (n, m : Nat) -> Nat
plus Z right = right
plus left Z = left
plus (S left) right = S (plus left right)
正如我目前所看到的那样，此实现将使许多证明和代码的工作变得更简单。例如
total plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> left + 0 = left
plusZeroRightNeutral Z = Refl
plusZeroRightNeutral (S n) =
let inductiveHypothesis = plusZeroRightNeutral n in
rewrite inductiveHypothesis in Refl
看起来像 plusZeroLeftNeutral :
total plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> left + 0 = left
plusZeroRightNeutral left = Refl
在现实生活中我们甚至不需要使用 plusZeroLeftNeutral 定理，因为 Idris 可以自动进行模式匹配（正如这个问题的答案中已经提到的：）。
那么为什么不添加额外的案例让生活更轻松呢？
实际上，plusZeroLeftNeutral不能仅用Refl来证明。
当你使用 Refl 时，你是在说："this holds by computation"（这个的另一个名称是定义平等，或判断平等）。
但是我们如何计算 left + 0（即 plus left Z 用于 Nat 类型）？本质上，Idris 从上到下逐个子句处理函数定义，在我们的例子中，它首先查看 plus Z right 子句。此时 Idris 需要判断 left 是否为 Z，但它不能，因为我们还没有析构 left。 Idris 不能跳过第一个子句并转到 plus left Z 子句。
现在，有了 plus 的替代定义，就不需要归纳来证明加法的右中性了：
total plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> plus left 0 = left
plusZeroRightNeutral Z = Refl
plusZeroRightNeutral (S _) = Refl
但另一方面，许多证明变成了long-winded，因为他们现在需要更多pattern-matching。让我们来看看加法的结合性。这是 plus 原始定义的可能证明：
total plusAssoc : (m,n,p : Nat) -> m + (n + p) = m + n + p
plusAssoc Z n p = Refl
plusAssoc (S m) n p = cong $ plusAssoc m n p
这里作为修改后的对应证明plus:
total plusAssoc : (m,n,p : Nat) -> m + (n + p) = m + n + p
plusAssoc Z n p = Refl
plusAssoc (S m) Z p = Refl
plusAssoc (S m) (S n) Z = Refl
plusAssoc (S m) (S n) (S p) = cong $ plusAssoc m (S n) (S p)
这里你被迫销毁 plus 函数出现的第二个参数只是因为那些块评估，但你需要将 S 构造函数移开以便能够利用你的归纳假设。
我发现 Nat 的 plus 功能在 this way
total plus : (n, m : Nat) -> Nat
plus Z right = right
plus (S left) right = S (plus left right)
我想知道是否有特殊原因不对第二个参数进行模式匹配，就像这里一样：
total plus : (n, m : Nat) -> Nat
plus Z right = right
plus left Z = left
plus (S left) right = S (plus left right)
正如我目前所看到的那样，此实现将使许多证明和代码的工作变得更简单。例如
total plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> left + 0 = left
plusZeroRightNeutral Z = Refl
plusZeroRightNeutral (S n) =
let inductiveHypothesis = plusZeroRightNeutral n in
rewrite inductiveHypothesis in Refl
看起来像 plusZeroLeftNeutral :
total plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> left + 0 = left
plusZeroRightNeutral left = Refl
在现实生活中我们甚至不需要使用 plusZeroLeftNeutral 定理，因为 Idris 可以自动进行模式匹配（正如这个问题的答案中已经提到的：
那么为什么不添加额外的案例让生活更轻松呢？
实际上，plusZeroLeftNeutral不能仅用Refl来证明。
当你使用 Refl 时，你是在说："this holds by computation"（这个的另一个名称是定义平等，或判断平等）。
但是我们如何计算 left + 0（即 plus left Z 用于 Nat 类型）？本质上，Idris 从上到下逐个子句处理函数定义，在我们的例子中，它首先查看 plus Z right 子句。此时 Idris 需要判断 left 是否为 Z，但它不能，因为我们还没有析构 left。 Idris 不能跳过第一个子句并转到 plus left Z 子句。
现在，有了 plus 的替代定义，就不需要归纳来证明加法的右中性了：
total plusZeroRightNeutral : (left : Nat) -> plus left 0 = left
plusZeroRightNeutral Z = Refl
plusZeroRightNeutral (S _) = Refl
但另一方面，许多证明变成了long-winded，因为他们现在需要更多pattern-matching。让我们来看看加法的结合性。这是 plus 原始定义的可能证明：
total plusAssoc : (m,n,p : Nat) -> m + (n + p) = m + n + p
plusAssoc Z n p = Refl
plusAssoc (S m) n p = cong $ plusAssoc m n p
这里作为修改后的对应证明plus:
total plusAssoc : (m,n,p : Nat) -> m + (n + p) = m + n + p
plusAssoc Z n p = Refl
plusAssoc (S m) Z p = Refl
plusAssoc (S m) (S n) Z = Refl
plusAssoc (S m) (S n) (S p) = cong $ plusAssoc m (S n) (S p)
这里你被迫销毁 plus 函数出现的第二个参数只是因为那些块评估，但你需要将 S 构造函数移开以便能够利用你的归纳假设。