推理 Isabelle/HOL 中的整个 codatatype

Question

我想写下一些关于图中路径的定义（并证明一些引理！）。假设该图是由 'a => 'a => bool 类型的关系隐式给出的。要谈论图中可能的无限路径，我认为明智的做法是使用像 'a llist 这样的惰性列表协同数据类型，如“Defining (Co)datatypes and Primitively (Co)recursive Functions在 Isabelle/HOL"（datatypes.pdf 在 Isabelle 分布中）。

这工作得很好，但我想定义一个谓词，它接受这样一个列表和一个图形关系，并评估为真当且仅当该列表定义了图形中的有效路径：任何一对列表中的相邻条目必须是一条边。

如果我使用 'a list 作为表示路径的类型，这将很简单：我只需使用 primrec 定义谓词。然而，我能找到的共同归纳定义似乎都是一次生成或使用一个元素的数据，而不是能够对整个事物做出陈述。显然，我意识到生成的谓词将无法计算（因为它是关于无限流的陈述），所以它可能在某处有一个 \forall ，但这很好 - 我想用它来发展一个理论，不生成代码。

如何定义这样的谓词？（我如何证明明显相关的引入和消除引理使其有用？）

谢谢！

Answer 1

我想最惯用的方法是使用余归谓词。直觉上，这就像一个普通的归纳谓词，只是你还允许“无限推导树”：

type_synonym 'a graph = "'a ⇒ 'a ⇒ bool"

codatatype 'a llist = LNil | LCons 'a "'a llist"

coinductive is_path :: "'a graph ⇒ 'a llist ⇒ bool" for g :: "'a graph" where
  is_path_LNil:
    "is_path g LNil"
| is_path_singleton:
    "is_path g (LCons x LNil)"
| is_path_LCons:
    "g x y ⟹ is_path g (LCons y path) ⟹ is_path g (LCons x (LCons y path))"

这为您提供了介绍规则 is_path.intros 和淘汰规则 is_path.cases。

当你想证明一个归纳谓词成立时，你只需要使用它的引入规则；当您想证明归纳谓词暗示其他东西时，您可以使用归纳及其归纳规则。

对于余归谓词，它通常是相反的：当你想证明一个余归谓词暗示其他东西时，你只需使用它的消除规则。当你想证明一个余归纳谓词成立时，你必须使用余归纳。

推理 Isabelle/HOL 中的整个 codatatype

Reasoning about the entirety of a codatatype in Isabelle/HOL

isabelle

corecursion