在 e^x 的泰勒展开中获取 inf，但仅适用于小误差范围

Question

我正在编写一个近似指数函数的程序，但我运行遇到了问题。对于 err 的小值，程序会搞砸并永远循环，每次都得到 inf 的近似值。随着输入的 x 越来越大，该程序似乎不能容忍越来越大的错误。它适用于 x=1 和 err=10e-5。作为它何时不起作用的示例：x=3 它可以正常工作到 err=10e-4 但是当 err=10e-5 时它会导致 inf.

//This program approximates e^x at a given x to a given accuracy
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
inline void keep_window_open() {char ch; cin >> ch;}
class bad_entry{};
int fac(int a) //function to find factorial
{
    int f=1; //covers 0!
    for(int w=0; w<a; ++w)
    {
        f*=(a-w);
    }
    return f;
}
int main()
{
    try
    {
        double x=0;
        double ans=0;
        double err=0;
        int n=0; 
        cout << "What number do you want to expand around?\n";
        cin >> x;
        if(!cin){throw bad_entry{};}
        cout << "What would you like the error to be within?\n";
        cin >> err;
        if(!cin){throw bad_entry{};}
        double actual=exp(x);
        while(n>=0)
        {
            ans += pow(x,n)/fac(n);
            cout << "n=" << n << '\t' << "Approx: " << ans << '\t' << "Erro: " << abs(actual-ans) << '\n';
            if(abs(actual-ans)<err)
            {
                keep_window_open();
                return 0;
            }
            ++n;
        }
    }
    catch(bad_entry)
    {
        cout << "\nINVALID ENTRY\n";
        return 0;
    }
}

Answer 1

如果您编写的程序只打印 fac 以增加 n 值，您将得到：

n=1  fac=1
n=2  fac=2
n=3  fac=6
n=4  fac=24
n=5  fac=120
n=6  fac=720
n=7  fac=5040
n=8  fac=40320
n=9  fac=362880
n=10 fac=3628800
n=11 fac=39916800
n=12 fac=479001600
n=13 fac=1932053504  // Ups - wrong - should be 6227020800
n=14 fac=1278945280  // Ups - wrong
n=15 fac=2004310016  // Ups - wrong

因此 n 等于 13 时已经溢出。因此所有计算都会失败并给出奇怪的结果。

如果您将 fac 函数更改为使用 uint64_t 而不是 int 它会好一点，即溢出前更高的 n。

Answer 2

你的 "while" 循环实际上是发散的；您正在递增计数器而不是递减。此外，"pow" 函数本身实现为 "exp(y*ln(x))"，这使得您的实现变得冗余、低效和不精确。阶乘计算使得复杂度为 O(n2)，这很糟糕。一个简单的不间断递增 for 循环，将精度标准作为其条件子句，并增量计算阶乘和整数 x 次幂就可以完成这项工作。

在 e^x 的泰勒展开中获取 inf，但仅适用于小误差范围

Getting inf in a Taylor expansion for e^x, but only for small error bounds

c++

taylor-series