在 coq 中，你如何 declare/prove 枚举元素是不同的？

Question

我很高兴向 Coq 介绍自己。现在我一直在做关于枚举的证明：

Inductive Comparison : Type :=
  | EQUAL
  | GREATER
  | LESSER.

EQUAL、GREATER 和 LESSER 是不同的（这似乎是文档暗示的意思）是否隐含地是正确的，或者仅用上面的代码是不确定的？我不知道如何证明它。

Proposition comp_sanity: forall x : Comparison,
  x = EQUAL /\ x = GREATER -> False.
Proof.
intros x H_eqgr.

给我：

H_eqgr : x = EQUAL /\ x = GREATER
--------------------------------------------------
False

但后来我卡住了：

Coq> contradiction H_eqgr.
Error: Not a contradiction.

我应该在这里做什么才能拥有完全（明确）的枚举类型？

Answer 1

contradiction 策略并没有比尝试在您的上下文中找到类型为 False 的东西做更多的工作。不幸的是，虽然你的上下文有矛盾，但还不清楚contradiction。

congruence 策略执行更多的工作，并且理解，实际上，两个不同的构造函数是不相等的（我们说构造函数是不相交的）。

在这种情况下，这或多或少与调用 subst 传播关于 x 的等式相同，这导致一个假设 EQUAL = GREATER，然后调用 discriminate，一种发现不同构造函数相等的荒谬策略。

Answer 2

在你的情况下，我会选择 discriminate 策略而不是 contradiction。一个简短的版本是：

Proposition comp_sanity: forall x : Comparison,
  x = EQUAL /\ x = GREATER -> False.
Proof.
now intros x [h1 h2]; subst; discriminate.
Qed.

转换为

Proposition comp_sanity: forall x : Comparison,
  x = EQUAL /\ x = GREATER -> False.
Proof.
intros x hx.
destruct hx as [h1 h2].
rewrite h1 in h2.
now discriminate h2.
Qed.

没有 intros 模式魔法。

最好的，五、

在 coq 中，你如何 declare/prove 枚举元素是不同的？

In coq, how do you declare/prove enumeration elements are distinct?

coq