证明 a x b 的叉积垂直于 b
Show that cross product of a x b is perpendicular to b
我怎么知道 A x B 的叉积垂直于 B。
我有点困惑，因为有 3 个向量而不是 2 个。
A = (0, -2, 5)
B = (2, 2, -5)
C= ( 7, -4, -5)
在R2平面上，(a x b) * b = 0证明a x b垂直于b，但是我如何在R3.[=16上找到它=]
诸如此类的问题归结为您的定义。
例如，定义 cross-product A x B 的一种方法是：
- R^3 是指具有固定方向的三维实数 space。
- 观察到 R^3 中的两个线性独立向量 A 和 B 跨越一个平面，因此垂直于它们的每个向量都位于通过垂直于该平面的原点的（唯一）线上。
- 观察到对于任何正幅度，沿着这条线恰好有两个向量具有该幅度。
- 观察到如果我们考虑 R^3 的有序基 {A, B, C}，其中 C 是上一步中的两个向量之一，那么一个选择匹配 R^3 的方向和其他没有。
- 将 A x B 定义为来自上一步的向量 C，其中 {A, B, C} 与 R^3 的方向匹配。
例如，叉积在 Wikipedia article:
中是这样定义的
"The cross product a × b is defined as a vector c that is perpendicular (orthogonal) to both a and b, with a direction given by the right-hand rule and a magnitude equal to the area of the parallelogram that the vectors span."
如果这是你的定义，那么实际上没有什么可以证明的，因为定义中已经包含 "perpendicular" 这个词。
另一个定义可能是这样的：
- R^3 是指 three-dimensional 真实 space 具有固定方向。
- 对于与R^3方向相同的R^3的有序基{e1,e2,e3}，我们可以将任意两个向量A和B写成A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3和B as B = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3.
- 观察到，无论我们在步骤 2 中选择 { e1, e2, e3 }，向量 C := (a2 b3 - b2 a3) e1 - (a1 b3 - b3 a1) e2 + ( a1 b2 - b1 a2) e3 始终相同。
- 将上一步的向量C作为A x B的定义
这不是一个很好的定义，因为第 3 步既需要大量工作，又是彻头彻尾的黑魔法，但这是您经常会看到的。如果这是你的定义，证明 A x B 垂直于 A 和 B 的 最佳 方法是证明另一个定义给你与这个定义相同的向量，然后垂直度是免费的。
一个更直接的方法是证明点积为零的向量是垂直的，然后通过做一堆代数来计算点积。这又是一种相当流行的方法，但它本质上毫无价值，因为它没有提供任何关于正在发生的事情的洞察力。
所以，经过一些研究，我终于想出了如何证明矢量在 R3 上相互垂直。
A= (a1, a2, a3)
B= (b1, b2, b3)
C= (c1, c2, c3)
(AB x AC )* AB = 0
(AB x AC )* AC = 0
我认为您不了解叉积的作用。它给出了一个与两个向量正交的向量。
The cross product a × b is defined as a vector c that is perpendicular
(orthogonal) to both a and b, with a direction given by the right-hand
rule and a magnitude equal to the area of the parallelogram that the
vectors span.
你可以简单地通过使用正交性的定义来证明这一点，正交性的定义是它们的点积为零。
我怎么知道 A x B 的叉积垂直于 B。 我有点困惑，因为有 3 个向量而不是 2 个。
A = (0, -2, 5)
B = (2, 2, -5)
C= ( 7, -4, -5)
在R2平面上，(a x b) * b = 0证明a x b垂直于b，但是我如何在R3.[=16上找到它=]
诸如此类的问题归结为您的定义。
例如，定义 cross-product A x B 的一种方法是：
- R^3 是指具有固定方向的三维实数 space。
- 观察到 R^3 中的两个线性独立向量 A 和 B 跨越一个平面，因此垂直于它们的每个向量都位于通过垂直于该平面的原点的（唯一）线上。
- 观察到对于任何正幅度，沿着这条线恰好有两个向量具有该幅度。
- 观察到如果我们考虑 R^3 的有序基 {A, B, C}，其中 C 是上一步中的两个向量之一，那么一个选择匹配 R^3 的方向和其他没有。
- 将 A x B 定义为来自上一步的向量 C，其中 {A, B, C} 与 R^3 的方向匹配。
例如，叉积在 Wikipedia article:
中是这样定义的"The cross product a × b is defined as a vector c that is perpendicular (orthogonal) to both a and b, with a direction given by the right-hand rule and a magnitude equal to the area of the parallelogram that the vectors span."
如果这是你的定义，那么实际上没有什么可以证明的，因为定义中已经包含 "perpendicular" 这个词。
另一个定义可能是这样的：
- R^3 是指 three-dimensional 真实 space 具有固定方向。
- 对于与R^3方向相同的R^3的有序基{e1,e2,e3}，我们可以将任意两个向量A和B写成A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3和B as B = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3.
- 观察到，无论我们在步骤 2 中选择 { e1, e2, e3 }，向量 C := (a2 b3 - b2 a3) e1 - (a1 b3 - b3 a1) e2 + ( a1 b2 - b1 a2) e3 始终相同。
- 将上一步的向量C作为A x B的定义
这不是一个很好的定义，因为第 3 步既需要大量工作，又是彻头彻尾的黑魔法，但这是您经常会看到的。如果这是你的定义，证明 A x B 垂直于 A 和 B 的 最佳 方法是证明另一个定义给你与这个定义相同的向量，然后垂直度是免费的。
一个更直接的方法是证明点积为零的向量是垂直的，然后通过做一堆代数来计算点积。这又是一种相当流行的方法，但它本质上毫无价值，因为它没有提供任何关于正在发生的事情的洞察力。
所以，经过一些研究，我终于想出了如何证明矢量在 R3 上相互垂直。
A= (a1, a2, a3)
B= (b1, b2, b3)
C= (c1, c2, c3)
(AB x AC )* AB = 0
(AB x AC )* AC = 0
我认为您不了解叉积的作用。它给出了一个与两个向量正交的向量。
The cross product a × b is defined as a vector c that is perpendicular (orthogonal) to both a and b, with a direction given by the right-hand rule and a magnitude equal to the area of the parallelogram that the vectors span.
你可以简单地通过使用正交性的定义来证明这一点，正交性的定义是它们的点积为零。