两组大小截然不同的顶点的最大加权二分匹配
Maximum weighted bipartite matching for two sets of vertices of drastically different sizes
抽象问题
我想在两组顶点大小差异很大的完全加权二分图中找到最佳最大匹配，即一组顶点非常大而另一组顶点非常小。
Hungarian algorithm 不是解决这个问题的好方法，因为它向较小的集合添加了虚拟顶点，使得两个集合具有相同的大小，所以我失去了其中一个的所有潜在效率增益顶点集非常小。
更具体
我已将对象（边界框）分成两组，并且我有一个相似性度量（Jaccard 重叠）来衡量任何两个对象的相似程度。我想生成两组之间的匹配，使得所有单个匹配的相似度之和最大。
问题是其中一个集合只包含很少的对象，比如 10 个，而第二个集合非常大，比如 10,000 个对象。第一组中的 10 个对象中的每一个都需要与第二组中的 10,000 个对象中的一个匹配。
两组大小的这种不对称让我想知道如何有效地做到这一点。我无法使用匈牙利算法生成 10,000 x 10,000 矩阵。
就可用软件而言，可能是最简单的方法：使用 min-costnetwork-flow 求解器。这个公式用矩形 cost-matrices 没有问题！基本思想很简单，简介是 here（一张幻灯片如下图所示）：
有很多可用的软件（例如 Coin-OR Lemon/C++; Google's ortools/C++ 有很多包装器）。
Google 的 ortools 在 this 上也有自己的 documentation-entry。
尽管如此，这本书：
Burkard, Rainer E., Mauro Dell'Amico, and Silvano Martello. Assignment problems, revised reprint. Vol. 125. Siam, 2009.
有一个 tiny/small 章节（5.4.4 矩形成本矩阵）概述了其他方法，主要是对其他 linear-assignment 算法的修改。
该章节的部分内容如下：
Alternatively, one can use the transformation to a minimum cost flow problem of Section 4.4.1, which does not require that vertex sets U and V have equal cardinality.
抽象问题
我想在两组顶点大小差异很大的完全加权二分图中找到最佳最大匹配，即一组顶点非常大而另一组顶点非常小。
Hungarian algorithm 不是解决这个问题的好方法，因为它向较小的集合添加了虚拟顶点，使得两个集合具有相同的大小，所以我失去了其中一个的所有潜在效率增益顶点集非常小。
更具体
我已将对象（边界框）分成两组，并且我有一个相似性度量（Jaccard 重叠）来衡量任何两个对象的相似程度。我想生成两组之间的匹配，使得所有单个匹配的相似度之和最大。
问题是其中一个集合只包含很少的对象，比如 10 个，而第二个集合非常大，比如 10,000 个对象。第一组中的 10 个对象中的每一个都需要与第二组中的 10,000 个对象中的一个匹配。
两组大小的这种不对称让我想知道如何有效地做到这一点。我无法使用匈牙利算法生成 10,000 x 10,000 矩阵。
就可用软件而言，可能是最简单的方法：使用 min-costnetwork-flow 求解器。这个公式用矩形 cost-matrices 没有问题！基本思想很简单，简介是 here（一张幻灯片如下图所示）：
有很多可用的软件（例如 Coin-OR Lemon/C++; Google's ortools/C++ 有很多包装器）。
Google 的 ortools 在 this 上也有自己的 documentation-entry。
尽管如此，这本书：
Burkard, Rainer E., Mauro Dell'Amico, and Silvano Martello. Assignment problems, revised reprint. Vol. 125. Siam, 2009.
有一个 tiny/small 章节（5.4.4 矩形成本矩阵）概述了其他方法，主要是对其他 linear-assignment 算法的修改。
该章节的部分内容如下：
Alternatively, one can use the transformation to a minimum cost flow problem of Section 4.4.1, which does not require that vertex sets U and V have equal cardinality.