如何使用算法 W 键入检查递归定义？

Question

我正在 JavaScript:

中实施 Algorithm W (the Hindley-Milner type system)

实现上述规则的函数是typecheck，它具有以下签名：

typecheck :: (Context, Expr) -> Monotype

定义如下：

function typecheck(context, expression) {
    switch (expression.type) {
    case "Var":
        var name = expression.name;
        var type = context[name];
        return inst(type);
    case "App":
        var fun = typecheck(context, expression.fun);
        var dom = typecheck(context, expression.arg);
        var cod = new Variable;
        unify(fun, abs(dom, cod));
        return cod;
    case "Abs":
        var param = expression.param;
        var env   = Object.create(context);
        var dom   = env[param] = new Variable;
        var cod   = typecheck(env, expression.result);
        return abs(dom, cod);
    case "Let":
        var assignments = expression.assignments;
        var env = Object.create(context);

        for (var name in assignments) {
            var value = assignments[name];
            var type  = typecheck(context, value);
            env[name] = gen(context, type);
        }

        return typecheck(env, expression.result);
    }
}

关于数据类型的一点点：

上下文是将标识符映射到多类型的对象。
```
type Context = Map String Polytype
```

表达式由以下代数数据类型定义：

data Expr = Var { name        :: String                          }
          | App { fun         :: Expr,            arg    :: Expr }
          | Abs { param       :: String,          result :: Expr }
          | Let { assignments :: Map String Expr, result :: Expr }
          | Rec { assignments :: Map String Expr, result :: Expr }

此外，我们还有以下算法需要但对题目来说不是必需的函数：

inst ::  Polytype -> Monotype
abs  :: (Monotype,   Monotype) -> Monotype
gen  :: (Context,    Monotype) -> Polytype

inst 函数特化多类型，gen 函数泛化单类型。

无论如何，我想扩展我的 typecheck 函数以允许 recursive definitions：

其中：

但是，我遇到了先有鸡还是先有蛋的问题。第一个上下文有假设 v_1 : τ_1, ..., v_n : τ_n。此外，它意味着 e_1 : τ_1, ..., e_n : τ_n。因此，您首先需要创建上下文才能找到 e_1, ..., e_n 的类型，但要创建上下文，您需要找到 e_1, ..., e_n.

的类型

你是怎么解决这个问题的？我正在考虑将新的单型变量分配给标识符 v_1, ..., v_n，然后将每个单型变量与其各自的类型统一起来。这是 OCaml 用于其 let rec 绑定的方法。但是，此方法不会产生最通用的类型，如下面的 OCaml 代码所示：

$ ocaml
        OCaml version 4.02.1

# let rec foo x = foo (bar true)     
  and bar x = x;;
val foo : bool -> 'a = <fun>
val bar : bool -> bool = <fun>

但是，GHC 会计算最一般的类型：

$ ghci
GHCi, version 7.10.1: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
Prelude> let foo x = foo (bar True); bar x = x
Prelude> :t foo
foo :: Bool -> t
Prelude> :t bar
bar :: t -> t

如您所见，OCaml 推断类型 val bar : bool -> bool 而 GHC 推断类型 bar :: t -> t。 Haskell如何推断函数的最一般类型bar？

我从@augustss 的回答中了解到，递归多态函数的类型推断是不可判定的。例如，Haskell 无法在没有附加类型注释的情况下推断以下 size 函数的类型：

data Nested a = Epsilon | Cons a (Nested [a])

size Epsilon     = 0
size (Cons _ xs) = 1 + size xs

如果我们指定类型签名 size :: Nested a -> Int 那么 Haskell 接受程序。

然而，如果我们只允许代数数据类型的一个子集，inductive types，那么数据定义Nested就变得无效，因为它不是归纳的；如果我没记错的话，归纳多态函数的类型推断确实是可判定的。如果是这样，那么用于推断多态归纳函数类型的算法是什么？

Answer 1

您可以使用具有类型 (a -> a) -> a 的基元 fix 的显式递归对其进行类型检查。您可以手动或自动插入修复程序。

如果您想扩展类型推断，那也很容易。遇到递归函数f，只要生成一个新的统一变量，把这个类型的f放到环境中即可。对主体进行类型检查后，将主体类型与此变量统一，然后照常进行泛化。我想这就是你的建议。它不允许您推断多态递归，但这通常是不可判定的。

如何使用算法 W 键入检查递归定义？

How to type check recursive definitions using Algorithm W?

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