sympy.solve() 没有给出 LambertW 的解决方案之一

Question

背景：
我正在尝试实现一个执行 inverse transform sampling. I use sympy for calculating CDF and getting its inverse function. While for some simple PDFs I get correct results, for a PDF which CDF's inverse function includes Lambert-W function 的函数，结果是错误的。

示例：
考虑以下示例 CDF：

import sympy as sym

y = sym.Symbol('y')
cdf = (-y - 1) * sym.exp(-y) + 1  # derived from `pdf = x * sym.exp(-x)`
sym.plot(cdf, (y, -1, 5))

现在计算这个函数的反函数：

x = sym.Symbol('x')
inverse = sym.solve(sym.Eq(x, cdf), y)
print(inverse)

输出：

[-LambertW((x - 1)*exp(-1)) - 1]

事实上，这只是给定 CDF 的负 y 的左分支：

sym.plot(inverse[0], (x, -0.5, 1))

问题： 如何获得给定 CDF 的正 y 的正确分支？

我试过的：

指定x和y只为正：
```
x = sym.Symbol('x', positive=True)
y = sym.Symbol('y', positive=True)
```
这没有任何效果，即使对于第一个 CDF 图也是如此。
使 CDF 成为 Piecewise 函数：
```
cdf = sym.Piecewise((0, y < 0),
                    ((-y - 1) * sym.exp(-y) + 1, True))
```
同样无效。奇怪的是，在另一台计算机上绘制此函数给出了一个正确的图形，其中负 y 为零，但求解正 y 的分支在任何地方都不起作用。（不同的版本？我还必须指定 adaptive=False 到 sympy.plot 才能在那里工作。）
使用sympy.solveset instead of sympy.solve:
结果只是给出了一个无用的 ConditionSet(y, Eq(x*exp(y) + y - exp(y) + 1, 0), Complexes(S.Reals x S.Reals, False)) 。显然，solveset 仍然不知道如何处理 LambertW 函数。来自文档：

When cases which are not solved or can only be solved incompletely, a ConditionSet is used and acts as an unevaluated solveset object. <...> There are still a few things solveset can’t do, which the old solve can, such as solving non linear multivariate & LambertW type equations.

这是一个错误还是我遗漏了什么？是否有任何解决方法来获得所需的结果？

Answer 1

sympy 生成的逆函数几乎是正确的。问题在于 LambertW 函数在域 (-1/e, 0) 上有多个分支。默认情况下，它使用上分支，但是对于您的问题，您需要下分支。可以通过将第二个参数传递给值为 -1 的 LambertW 来访问下分支。

inverse = -sym.LambertW((x - 1)*sym.exp(-1), -1) - 1
sym.plot(inverse, (x, 0, 0.999))

给予

sympy.solve() 没有给出 LambertW 的解决方案之一

sympy.solve() doesn't give one of the solutions with LambertW

python

inverse

solver

sympy